최종 업데이트: 2026-07-01

이 계산기가 하는 일

이 계산기는 미지수 x, y, z를 갖는 세 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 풉니다.

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

12개의 계수와 상수를 입력하면 크라메르 공식으로 유일한 해 (x, y, z)를 구하며, 계수행렬이 특이행렬일 때는 「유일한 해 없음」으로 표시합니다.

3원 연립방정식의 크라메르 공식

크라메르 공식은 각 미지수를 행렬식의 비로 나타냅니다. 먼저 계수행렬의 행렬식을 구합니다.

$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)$$

D ≠ 0일 때 유일한 해는 다음과 같습니다.

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$

각 분자 행렬식은 계수행렬에서 한 열을 상수열 (d₁, d₂, d₃)로 바꾼 것입니다.

$$D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$

이는 선형대수에서 바로 나옵니다. 정칙행렬 A에 대해 Av = d의 해는 v = A⁻¹d이며, 크라메르 공식은 그 역행렬을 행렬식 단위로 풀어 쓴 것입니다.

기하학적 의미

각 방정식은 3차원 공간의 평면을 나타냅니다. 연립방정식을 푸는 것은 세 평면이 만나는 점을 찾는 일과 같습니다.

• D ≠ 0 (유일한 해): 세 평면이 정확히 한 점에서 만납니다. 계수행렬은 가역입니다.
• D = 0 (유일한 해 없음): 평면들이 한 점에서 만나지 않습니다. 공통의 직선을 공유하거나(무수히 많은 해) 공통점이 전혀 없습니다(해 없음). 이 경우 크라메르 공식은 하나의 답을 줄 수 없습니다.

풀이 예시

기본 연립방정식을 풀어 봅니다.

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

1단계 — 계수행렬의 행렬식:

$$D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big)$$ $$D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1$$

D ≠ 0이므로 유일한 해가 있습니다.

2단계 — x 구하기 (x열을 상수로 교체):

$$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2$$

3단계 — y 구하기 (y열을 상수로 교체):

$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3$$

4단계 — z 구하기 (z열을 상수로 교체):

$$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1$$

검산:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

행렬식이 0일 때

D = 0이면 계수행렬의 세 행이 일차종속이며, 한 방정식이 나머지의 조합이 됩니다. 두 가지 경우가 가능합니다.

• 무수히 많은 해: 상수가 종속 관계와 모순되지 않아 평면들이 공통점으로 이루어진 직선 전체를 공유합니다.
• 해 없음: 상수가 종속 관계와 모순되어 평면들이 한 점에서 만나지 않습니다.

크라메르 공식은 D ≠ 0일 때만 적용되므로, D = 0이 되는 즉시 계산기는 「유일한 해 없음」으로 표시합니다. 퇴화된 경우를 정확히 분류하려면 첨가행렬을 가우스 소거법으로 간약한 뒤 계수행렬과 첨가행렬의 계수(rank)를 비교하면 됩니다.

활용 분야

3원 연립일차방정식은 대수·미적분 선행 과정뿐 아니라 회로 해석(세 폐로에 대한 키르히호프 법칙), 화학 반응식의 계수 결정 등 세 가지 일차 조건을 동시에 만족해야 하는 모든 상황에 나타납니다. 크라메르 공식은 닫힌 형태로 해를 직접 제시하므로 작은 연립방정식을 검산하거나 해를 기호로 표현할 때 편리합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

행렬식은 무엇을 알려주나요?

계수행렬의 행렬식 D는 연립방정식에 유일한 해가 있는지를 결정합니다. D ≠ 0이면 세 평면이 정확히 한 점에서 만나므로 x, y, z가 유일하게 정해집니다. D = 0이면 평면들이 직선 전체를 공유하거나 공통점이 전혀 없는 배치이므로, 크라메르 공식으로는 하나의 해를 구할 수 없습니다.

크라메르 공식과 소거법은 어떻게 다른가요?

가우스 소거법과 대입법은 행 연산을 단계적으로 수행해 같은 답에 도달합니다. 반면 크라메르 공식은 각 미지수를 행렬식의 비로 직접 나타냅니다(x = Dₓ/D, y = D_y/D, z = D_z/D). 닫힌 형태의 식이 필요하거나 기호 그대로 계산하고 싶을 때 편리하지만, 규모가 큰 연립방정식에서는 보통 소거법이 더 빠릅니다.

왜 «유일한 해 없음»이라고 표시되나요?

이 메시지는 D = 0일 때 나타납니다. 세 식이 일차종속이어서 적어도 하나가 나머지의 조합으로 표현되는 상태입니다. 상수항에 따라 해가 무수히 많거나(평면들이 직선을 공유) 해가 없습니다(평면들이 공통점에서 만나지 않음). 크라메르 공식은 D ≠ 0일 때만 적용되므로 여기서 멈춥니다.

해를 어떻게 검산하나요?

구한 x, y, z를 원래 세 방정식에 모두 대입하세요. 각 좌변이 우변(d₁, d₂, d₃)과 같아야 합니다. 해는 정확한 행렬식의 비로 계산되므로 표시된 소수에 약간의 반올림이 있는 것은 정상이며, 내부 값은 완전한 정밀도로 방정식을 만족합니다.