최종 업데이트: 2026-06-23

이 계산기의 기능

이 계산기는 표본으로부터 모평균을 추정할 때의 오차 한계와, 표본평균을 둘러싸는 신뢰구간을 함께 구합니다. 신뢰수준, 표준편차, 표본 크기, 관측된 표본평균을 입력합니다.

오차 한계란

여론조사나 설문, 실험이 표본에서 평균을 추정할 때 그 추정값은 결코 정확하지 않습니다. 다른 무작위 표본을 뽑으면 평균도 조금 달라지기 때문입니다. 오차 한계는 이러한 표본추출 불확실성을 수치로 나타냅니다. "평균 만족도는 10점 만점에 7.2점, ±0.3" 처럼 결과 옆에 붙는 "±" 값이 바로 그것입니다. 형식적으로는 신뢰구간의 절반 너비, 즉 표본평균에서 구간의 양 끝까지의 거리입니다.

계산식

표준편차를 알고 있거나 충분히 잘 추정한 모평균의 경우 오차 한계는 다음과 같습니다.

• E — 오차 한계(구간의 절반 너비)
• z — 표준정규분포에서 나온 임계값으로, 신뢰수준이 정합니다(90%는 1.645, 95%는 1.96, 99%는 2.576).
• σ — 데이터의 표준편차
• n — 표본 크기

$\sigma/\sqrt{n}$ 항은 평균의 표준오차, 곧 표본평균의 표집분포가 갖는 표준편차입니다. 여기에 임계값을 곱해 원하는 신뢰수준에 맞게 키웁니다.

신뢰구간은 표본평균에 이 오차 한계를 더하거나 뺀 범위입니다.

따라서 표본평균 $\bar{x}$ 와 오차 한계 $E$ 는 $\bar{x} - E$ 에서 $\bar{x} + E$ 까지의 구간을 만듭니다. 95% 신뢰수준에서 이는 조사를 여러 번 반복했을 때 이렇게 만들어진 구간의 약 95%가 참된 모평균을 포함한다는 뜻입니다.

오차 한계가 √n 으로 줄어드는 이유

표본 크기가 제곱근 아래에 들어가므로 오차 한계는 $n$ 자체에 반비례하는 것이 아니라 $1/\sqrt{n}$ 에 비례해 줄어듭니다. 그래서 수익이 점차 줄어드는 효과가 나타납니다.

오차 한계를 절반으로 줄이려면 표본을 네 배로 늘려야 합니다. 이 제곱근 법칙 때문에 대규모 전국 조사에서도 여전히 몇 퍼센트포인트의 오차 한계가 남고, 정밀도를 한 단계 더 높이는 비용이 점점 비싸집니다.

계산 예시

표본 크기 100, 표준편차 15, 평균 50인 표본에서 95% 신뢰구간을 구한다고 합시다. 임계값은 1.96입니다.

오차 한계는 ±2.94이고, 95% 신뢰구간은 47.06에서 52.94까지입니다. 이는 이 표본을 근거로 할 때 모평균이 그 범위 안 어디쯤에 있다고 볼 수 있다는 의미입니다.

σ를 모르거나 n이 작을 때

위의 식은 모표준편차 σ를 알고 있거나, 표본이 충분히 커서 표본표준편차 s가 믿을 만한 대체값이 됨을 전제합니다. 흔히 쓰이는 기준은 $n \geq 30$ 입니다.

σ를 모르고 표본이 작을 때는 정규분포의 임계값 대신 t분포의 임계값을 사용합니다. t분포는 σ를 데이터에서 추정하는 데 따르는 추가 불확실성을 반영해 꼬리가 더 두껍습니다.

t값은 표본 크기보다 하나 작은 자유도에 따라 정해지며, 대응하는 z값보다 항상 조금 크기 때문에 구간을 넓힙니다. n이 커지면 t값은 다시 z값으로 수렴합니다.

비율의 오차 한계

이 계산기는 평균의 오차 한계를 다룹니다. 비율, 예를 들어 "예"라고 답한 응답자의 비율 같은 경우에는 표준오차가 다르고, 오차 한계는 다음과 같이 됩니다.

여기서 $p$ 는 표본 비율입니다. 이 식은 $p$ 가 0.5일 때 가장 커지며, 그래서 여론조사 기관은 흔히 그 값에서 계산한 보수적인 "최대" 오차 한계를 보고합니다.

관련 계산기

신뢰구간 계산기는 추정값을 둘러싼 완전한 구간을 만들고 평균과 비율 모두를 다룰 수 있습니다. 연구를 설계하면서 목표 오차 한계에 맞도록 n을 미리 정하고 싶다면 표본 크기 계산 (평균)를 이용해 식을 거꾸로 풀어 필요한 표본 크기를 구할 수 있습니다.