최종 업데이트: 2026-06-04

정의

**타원체(ellipsoid)**는 세 좌표 방향으로 각각 다른 길이를 갖는 3차원 닫힌 곡면입니다. 표면 위의 모든 점 $(x, y, z)$는 다음 방정식을 만족합니다.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

여기서 $a$, $b$, $c$는 각각 $x$, $y$, $z$ 방향의 반축(semi-axis) — 중심에서 표면까지의 거리 — 입니다. 관례상 $a \geq b \geq c > 0$으로 놓습니다.

세 반축이 모두 같을 때($a = b = c = r$) 타원체는 구가 됩니다. 두 반축만 같을 때는 **회전타원체(spheroid)**가 되며, 이에 대해서는 아래 특수 경우 절에서 자세히 다룹니다.

실제 사례: 지구(편원 회전타원체, $a \approx b > c$), 럭비공(장원 회전타원체, $a > b \approx c$), 세포핵, 행성, 압력 용기 등이 타원체 형태를 가집니다.

부피 공식과 유도

타원체의 부피는 다음 공식으로 정확하게 계산됩니다.

$$V = \frac{4}{3}\pi a b c$$

이 식은 타원 단면의 적분으로 유도됩니다. 높이 $z$에서의 수평 단면은 반축이 $a\sqrt{1 - z^2/c^2}$, $b\sqrt{1 - z^2/c^2}$인 타원이므로, 그 넓이는 $\pi ab(1 - z^2/c^2)$입니다. $z = -c$에서 $z = c$까지 적분하면

$$V = \int_{-c}^{c} \pi ab\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi ab \left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \pi ab \cdot \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}\pi abc$$

가 됩니다. 구의 부피 공식 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$에서 $r$ 자리에 세 반축 $a$, $b$, $c$를 각각 대입한 형태로 이해할 수 있습니다.

겉넓이: 왜 근사식이 필요한가

구의 경우 모든 위도원이 동일한 곡률 관계를 가지므로 겉넓이 적분이 $4\pi r^2$으로 깔끔하게 정리됩니다. 반면 일반 삼축 타원체는 표면 곡률이 점마다 다르기 때문에, 겉넓이를 구하는 적분이 **제1종 및 제2종 불완전 타원 적분(incomplete elliptic integrals of the first and second kind)**으로 귀결됩니다. 이 함수들은 다항식, 지수함수, 삼각함수의 유한 조합으로는 표현할 수 없는 초월 함수입니다.

단, 두 반축이 같은 회전타원체에서는 적분이 초등 함수로 정리됩니다.

• 편원 회전타원체 ($a = b > c$): $A = 2\pi a^2 + \dfrac{2\pi c^2}{e}\operatorname{arctanh} e$, $\;e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$
• 장원 회전타원체 ($a > b = c$): $A = 2\pi c^2 + \dfrac{2\pi ac}{e}\arcsin e$, $\;e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$

세 반축이 모두 다른 일반 삼축 타원체에서는 실용적인 근사식을 사용합니다.

Knud Thomsen 근사식

덴마크 수학자 Knud Thomsen이 2004년 제안한 다음 공식이 현재 가장 널리 쓰이는 겉넓이 근사식입니다.

$$A \approx 4\pi \left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{1/p}, \quad p = 1.6075$$

지수 $p = 1.6075$는 최악의 경우 상대 오차를 최소화하도록 경험적으로 결정된 값입니다. 이 공식의 주요 특성은 다음과 같습니다.

• 임의의 양의 반축 조합에 대해 최대 상대 오차가 1.061 % 미만
• 구($a = b = c$)에서는 대수적으로 정확하게 $4\pi a^2$으로 귀결
• 반축 비율이 극단적이지 않은 대부분의 실용 경우에서 오차 0.5 % 이하

특수 경우 요약

형태	조건	부피	겉넓이
구	$a = b = c$	$\tfrac{4}{3}\pi a^3$	$4\pi a^2$ (정확)
편원 회전타원체	$a = b > c$	$\tfrac{4}{3}\pi a^2 c$	초등 함수로 정확하게 계산 가능
장원 회전타원체	$a > b = c$	$\tfrac{4}{3}\pi a c^2$	초등 함수로 정확하게 계산 가능
일반 삼축 타원체	$a \neq b \neq c$	$\tfrac{4}{3}\pi abc$	Knud Thomsen 근사 (오차 < 1.061 %)

계산 예시

반축이 $a = 30\,\text{cm}$, $b = 20\,\text{cm}$, $c = 15\,\text{cm}$인 타원체(예: 둥근 수조)를 생각해 봅니다.

부피 계산:

$$V = \frac{4}{3}\pi \times 0.30 \times 0.20 \times 0.15 = \frac{4}{3}\pi \times 0.009 \approx 0.03770\,\text{m}^3 \approx 37.7\,\text{L}$$

겉넓이 계산 (Knud Thomsen, $p = 1.6075$):

$$0.30^{1.6075} \approx 0.14437,\quad 0.20^{1.6075} \approx 0.07523,\quad 0.15^{1.6075} \approx 0.04738$$ $$a^p b^p \approx 0.010861,\quad a^p c^p \approx 0.006840,\quad b^p c^p \approx 0.003564$$ $$\frac{0.010861 + 0.006840 + 0.003564}{3} \approx 0.007088,\quad 0.007088^{1/1.6075} \approx 0.04601$$ $$A \approx 4\pi \times 0.04601 \approx 0.5782\,\text{m}^2 \approx 5{,}782\,\text{cm}^2$$

이 수치는 수조 외벽에 필요한 재료의 면적을 추정하거나 방수 코팅량을 계산할 때 활용됩니다.

부피와 반축의 관계

$V = \frac{4}{3}\pi abc$이므로, 한 반축만 두 배로 늘리면 부피도 두 배가 됩니다. 이는 구에서 반지름을 두 배로 늘리면 부피가 8배가 되는 것과 대조적입니다. 세 반축을 모두 같은 비율로 늘릴 때의 부피 변화는 구와 동일합니다.

변화	부피 배수
$a$만 2배	×2
$b$만 2배	×2
세 축 모두 2배	×8
세 축 모두 3배	×27

자주 묻는 질문 (FAQ)

타원체의 부피 공식은 무엇입니까?

세 반축이 a, b, c인 타원체의 부피는 V = (4/3)πabc입니다. 예를 들어 a = 3 cm, b = 2 cm, c = 1 cm이면 V = (4/3) × π × 3 × 2 × 1 ≈ 25.13 cm³입니다. 세 반축이 모두 같을 때(a = b = c = r) 이 식은 구의 부피 공식 V = (4/3)πr³으로 단순화됩니다.

타원체의 겉넓이는 왜 근사값만 구할 수 있습니까?

구의 경우 모든 위도원이 동일한 곡률 관계를 가지므로 겉넓이 적분이 4πr²으로 정리됩니다. 그러나 일반 삼축 타원체는 표면 곡률이 점마다 다르기 때문에 겉넓이 적분이 제1종 및 제2종 불완전 타원 적분으로 귀결되며, 이는 초등 함수로는 표현할 수 없습니다. 실용적인 근사식으로는 Knud Thomsen 공식이 가장 널리 쓰입니다: A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p), p = 1.6075. 구(a = b = c)에 대해서는 이 식이 정확하게 성립합니다.

편원 회전타원체와 장원 회전타원체의 차이는 무엇입니까?

회전타원체(spheroid)는 두 반축이 서로 같은 타원체입니다. 편원 회전타원체(oblate spheroid)는 두 긴 축이 같고 짧은 축이 하나인 납작한 형태로, 지구나 원반이 대표적인 예입니다(a = b > c). 장원 회전타원체(prolate spheroid)는 두 짧은 축이 같고 긴 축이 하나인 길쭉한 형태로, 럭비공이나 계란이 해당됩니다(a > b = c). 두 경우 모두 겉넓이를 초등 함수로 정확하게 구할 수 있으며, 일반 삼축 타원체와 달리 근사식이 필요하지 않습니다.

Knud Thomsen 근사식은 얼마나 정확합니까?

지수 p = 1.6075를 사용하는 Knud Thomsen 공식은 양의 반축 조합에 대해 최대 상대 오차가 1.061 % 미만임이 경험적으로 확인되었습니다. 구(a = b = c)에서는 정확하게 성립하며, 오차가 1 %에 근접하는 경우는 반축 비율이 극단적으로 다를 때에 한정됩니다. 공학, 설계, 생물학 등 대부분의 실용 분야에서는 오차가 0.5 % 이하에 머물러 충분히 신뢰할 수 있습니다.