최종 업데이트: 2026-06-04

정의

**타원체(ellipsoid)**는 세 좌표 방향으로 각각 다른 길이를 갖는 3차원 닫힌 곡면입니다. 표면 위의 모든 점 $(x, y, z)$는 다음 방정식을 만족합니다.

여기서 $a$, $b$, $c$는 각각 $x$, $y$, $z$ 방향의 반축(semi-axis) — 중심에서 표면까지의 거리 — 입니다. 관례상 $a \geq b \geq c > 0$으로 놓습니다.

세 반축이 모두 같을 때($a = b = c = r$) 타원체는 구가 됩니다. 두 반축만 같을 때는 **회전타원체(spheroid)**가 되며, 이에 대해서는 아래 특수 경우 절에서 자세히 다룹니다.

실제 사례: 지구(편원 회전타원체, $a \approx b > c$), 럭비공(장원 회전타원체, $a > b \approx c$), 세포핵, 행성, 압력 용기 등이 타원체 형태를 가집니다.

부피 공식과 유도

타원체의 부피는 다음 공식으로 정확하게 계산됩니다.

이 식은 타원 단면의 적분으로 유도됩니다. 높이 $z$에서의 수평 단면은 반축이 $a\sqrt{1 - z^2/c^2}$, $b\sqrt{1 - z^2/c^2}$인 타원이므로, 그 넓이는 $\pi ab(1 - z^2/c^2)$입니다. $z = -c$에서 $z = c$까지 적분하면

가 됩니다. 구의 부피 공식 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$에서 $r$ 자리에 세 반축 $a$, $b$, $c$를 각각 대입한 형태로 이해할 수 있습니다.

겉넓이: 왜 근사식이 필요한가

구의 경우 모든 위도원이 동일한 곡률 관계를 가지므로 겉넓이 적분이 $4\pi r^2$으로 깔끔하게 정리됩니다. 반면 일반 삼축 타원체는 표면 곡률이 점마다 다르기 때문에, 겉넓이를 구하는 적분이 **제1종 및 제2종 불완전 타원 적분(incomplete elliptic integrals of the first and second kind)**으로 귀결됩니다. 이 함수들은 다항식, 지수함수, 삼각함수의 유한 조합으로는 표현할 수 없는 초월 함수입니다.

단, 두 반축이 같은 회전타원체에서는 적분이 초등 함수로 정리됩니다.

• 편원 회전타원체 ($a = b > c$): $A = 2\pi a^2 + \dfrac{2\pi c^2}{e}\operatorname{arctanh} e$, $\;e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$
• 장원 회전타원체 ($a > b = c$): $A = 2\pi c^2 + \dfrac{2\pi ac}{e}\arcsin e$, $\;e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$

세 반축이 모두 다른 일반 삼축 타원체에서는 실용적인 근사식을 사용합니다.

Knud Thomsen 근사식

덴마크 수학자 Knud Thomsen이 2004년 제안한 다음 공식이 현재 가장 널리 쓰이는 겉넓이 근사식입니다.

지수 $p = 1.6075$는 최악의 경우 상대 오차를 최소화하도록 경험적으로 결정된 값입니다. 이 공식의 주요 특성은 다음과 같습니다.

• 임의의 양의 반축 조합에 대해 최대 상대 오차가 1.061 % 미만
• 구($a = b = c$)에서는 대수적으로 정확하게 $4\pi a^2$으로 귀결
• 반축 비율이 극단적이지 않은 대부분의 실용 경우에서 오차 0.5 % 이하

특수 경우 요약

계산 예시

반축이 $a = 30\,\text{cm}$, $b = 20\,\text{cm}$, $c = 15\,\text{cm}$인 타원체(예: 둥근 수조)를 생각해 봅니다.

부피 계산:

겉넓이 계산 (Knud Thomsen, $p = 1.6075$):

이 수치는 수조 외벽에 필요한 재료의 면적을 추정하거나 방수 코팅량을 계산할 때 활용됩니다.

부피와 반축의 관계

$V = \frac{4}{3}\pi abc$이므로, 한 반축만 두 배로 늘리면 부피도 두 배가 됩니다. 이는 구에서 반지름을 두 배로 늘리면 부피가 8배가 되는 것과 대조적입니다. 세 반축을 모두 같은 비율로 늘릴 때의 부피 변화는 구와 동일합니다.