생성일: 2026년 6월 13일 오후 06:02

기하분포 계산기

입력

성공 확률	0.3
시행 번호	3

그래프

확률질량함수 값 0

기하분포 계산기

성공 확률과 시행 번호를 입력하면 P(X=k), P(X≤k), 평균, 분산을 계산합니다. 확률질량함수와 누적분포함수를 도표로 확인할 수 있습니다.

매개변수

성공 확률

0 – 1

시행 번호

≥ 1

값을 입력하면 계산 결과가 표시됩니다.

정확 확률

세부 정보

누적 확률

표준편차

기댓값(평균 시행 횟수)

분산

확률

P(X = k) — k번째 시행에서 첫 성공할 확률

\begin{aligned} P(X=k) &= (1-p)^{k-1} \cdot p \\ &= (1-0.3)^{ 3-1 } \cdot 0.3 \\ &= ? \end{aligned}

P(X ≤ k) — 누적 확률

\begin{aligned} P(X \leq k) &= 1-(1-p)^{k} \\ &= 1-(1-0.3)^{ 3 } \\ &= ? \end{aligned}

평균(기대 시행 횟수)

\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{p} \\ &= \dfrac{1}{ 0.3 } \\ &= ? \end{aligned}

분산

\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1-p}{p^2} \\ &= \dfrac{1-0.3}{ 0.3^2 } \\ &= ? \end{aligned}

분포

확률질량함수 값 0

최종 업데이트: 2026-06-04

기하분포(geometric distribution)는 독립적인 베르누이 시행을 반복할 때 첫 번째 성공이 나타나기까지 필요한 시행 횟수를 모형화하는 이산 확률분포입니다. 각 시행의 성공 확률 $p$ 는 일정하고 시행 간 독립성이 보장됩니다. 품질 검사, 통신망 재전송, 임상 등록 대기, 영업 전환율 분석 등 목표 결과가 나타날 때까지 시행을 반복하는 모든 상황에 적용됩니다.

공식

이 계산기는 첫 성공까지의 총 시행 횟수 방식(X ≥ 1)을 따릅니다. 확률질량함수(PMF)와 누적분포함수(CDF)는 다음과 같습니다.

P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k

평균과 분산은 다음과 같습니다.

\mu = \frac{1}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}

일부 교재에서는 X를 첫 성공 이전의 실패 횟수(X ≥ 0)로 정의하기도 합니다. 이 경우 PMF는 $P(X = k) = (1-p)^{k} \cdot p$ , 평균은 $\frac{1-\mathit{p}}{\mathit{p}}$ 가 됩니다. 두 정의는 인덱스가 1 차이 나므로 외부 자료와 비교할 때 정의 방식을 반드시 확인해야 합니다.

공식이 이런 형태를 갖는 이유

$k$ 번째 시행에서 정확히 첫 번째 성공이 일어나려면 두 가지 조건이 동시에 만족되어야 합니다.

① 첫 번째부터 $\mathit{k}-1$ 번째까지의 시행은 모두 실패해야 합니다. 각 시행의 실패 확률은 $1-\mathit{p}$ 이며 시행이 독립이므로, $\mathit{k}-1$ 번 연속 실패할 확률은 $(1-p)^{k-1}$ 입니다.

② $k$ 번째 시행에서 성공해야 합니다. 이 확률은 $p$ 입니다.

두 독립 사건의 확률을 곱하면 $(1-p)^{k-1} \cdot p$ 가 됩니다.

CDF는 여사건 논리로 도출됩니다. $P(X \leq k)$ 가 성립하지 않는 유일한 경우는 $k$ 번 시행 모두 실패하는 것이며, 그 확률은 $(1-p)^k$ 입니다. 따라서 $P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$ 입니다.

계산 예시

제품 생산 과정에서 불량품 발생률이 20%인 공정을 가정합니다. 품질 검사원이 처음으로 불량품을 발견하는 것이 정확히 3번째 검사에서 일어날 확률은 얼마입니까?

$\mathit{p} = 0.20$ , $\mathit{k} = 3$ 으로 설정하면:

P(X = 3) = (1 - 0.20)^{3-1} \times 0.20 = 0.80^{2} \times 0.20 = 0.64 \times 0.20 = 0.128

세 번째 검사에서 처음으로 불량품을 발견할 확률은 **12.8%**입니다. 3번째 검사 이내에 불량품을 발견할 누적 확률은 다음과 같습니다.

P(X \leq 3) = 1 - 0.80^3 = 1 - 0.512 = 0.488

즉, 3번 이내에 불량품을 발견할 확률은 약 48.8%입니다. 평균적으로는 $\mu = 1/0.20 = 5$ 번 검사해야 처음 불량품이 발견됩니다.

무기억성

기하분포는 이산 확률분포 중 유일하게 **무기억성(memoryless property)**을 갖습니다. 이미 $m$ 번 시행하여 모두 실패했더라도, 앞으로 남은 대기 시간의 분포는 처음 시작할 때와 동일합니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)

이 성질 덕분에 기하분포는 대기행렬 이론과 순차 검정(sequential testing) 등에서 분석이 간결해지는 장점이 있습니다. 연속 분포 중에서는 지수분포(exponential distribution)가 동일한 무기억성을 갖습니다.

다른 분포와의 관계

기하분포는 **음이항분포(negative binomial distribution)**에서 필요한 성공 횟수를 $\mathit{r}=1$ 로 설정한 특수한 경우입니다. 독립적인 기하 확률변수 $r$ 개의 합은 $r$ 번의 성공을 달성하는 데 필요한 시행 횟수를 나타내는 음이항분포를 따릅니다.

성공 확률 $p$ 가 작고 시행 횟수 $n$ 이 충분히 클 때, $n$ 번의 기하 시행에서 발생하는 성공 횟수는 포아송 분포(Poisson distribution)로 근사할 수 있습니다.

반면 성공 확률이 1에 가까워질수록 분포는 $\mathit{k}=1$ 부근에 집중되며 오른쪽 꼬리가 빠르게 줄어듭니다.

실제 적용 사례

품질 관리 및 신뢰성 분석: 생산 라인에서 첫 번째 불량품이 발견되기까지 검사 횟수를 모형화합니다.
통신망 재전송: 패킷이 오류 없이 수신되기까지 필요한 전송 시도 횟수를 분석합니다.
영업 및 마케팅: 첫 계약 성사까지 필요한 고객 접촉 횟수의 기댓값을 추정합니다.
임상 연구: 고정된 적합 확률 하에서 첫 번째 적합 환자를 등록하기까지 필요한 스크리닝 횟수를 계산합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

기하분포란 무엇입니까?

기하분포는 독립적인 베르누이 시행을 반복할 때 첫 번째 성공이 나타나기까지 필요한 시행 횟수를 모형화하는 이산 확률분포입니다. 각 시행의 성공 확률은 p로 동일하고 시행 간 독립성이 보장됩니다. 예를 들어 p = 0.3이면, 이 분포는 특정 결과가 나올 때까지 시행을 몇 번 반복해야 하는지 기술합니다. 기하분포의 핵심 성질은 무기억성(memoryless property)으로, 이미 실패한 횟수와 무관하게 앞으로 남은 대기 시간의 분포가 항상 동일합니다.

이 계산기는 어떤 정의 방식을 사용합니까?

이 계산기는 첫 성공까지의 총 시행 횟수 X ≥ 1을 사용하는 방식을 따릅니다. 이 경우 P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p이며, 평균은 1/p입니다. 한편 일부 교재에서는 X를 첫 성공 이전의 실패 횟수(X ≥ 0)로 정의하기도 합니다. 이 때 P(X = k) = (1−p)^k · p이며, 평균은 (1−p)/p가 됩니다. 두 방식은 인덱스가 1 차이 나므로 결과를 비교할 때 어느 정의를 사용했는지 확인이 필요합니다.

평균적으로 몇 번이나 시행해야 합니까?

기대 시행 횟수는 μ = 1/p입니다. 성공 확률이 p = 0.25이면 평균 4회, p = 0.1이면 평균 10회가 필요합니다. 표준편차는 σ = √((1−p)/p²)로, p = 0.25일 때 σ = √12 ≈ 3.46이며 시행 횟수의 편차가 상당히 큼을 알 수 있습니다. 기하분포는 오른쪽으로 치우친(right-skewed) 분포로, 대부분의 경우 비교적 빨리 성공하지만 드물게 매우 긴 대기 시간이 발생하여 평균을 끌어올립니다.

기하분포와 음이항분포는 어떤 관계입니까?

기하분포는 음이항분포(negative binomial distribution)에서 필요한 성공 횟수를 r = 1로 설정한 특수한 경우입니다. r = 1인 음이항분포의 확률질량함수 P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p는 기하분포의 공식과 동일합니다. 음이항분포는 이를 r번의 성공을 달성하는 데 필요한 시행 횟수로 일반화합니다. 따라서 여러 번의 성공이 필요한 상황을 모형화할 때 기하분포를 자연스럽게 확장하여 활용할 수 있습니다.

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