최종 업데이트: 2026-06-04

배수 판별(divisibility)은 정수론의 기초 개념입니다. 정수 n이 0이 아닌 정수 d의 배수라는 것은, n ÷ d의 나머지가 0임을 의미합니다. 이는 n = d × k를 만족하는 정수 k가 존재한다는 것과 동치입니다. 이 계산기는 2부터 11까지의 각 약수에 대해 배수 판별 규칙을 적용하여, 입력한 정수가 각각의 배수인지를 판정합니다. 어떤 수가 소수인지 확인하려면 소수 판별기를, 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구하려면 최대공약수 · 최소공배수 계산기를 이용할 수 있습니다.

약수별 판별 규칙

2의 배수

끝자리(일의 자릿수)가 0, 2, 4, 6, 8 중 하나이면 2의 배수입니다. 이는 10 ≡ 0 (mod 2)이므로, 일의 자릿수 이상의 모든 자릿값이 2의 배수에 기여하기 때문입니다.

3의 배수

모든 자릿수의 합이 3의 배수이면, 원래 수도 3의 배수입니다. 예를 들어 12345의 자릿수 합은 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15이고, 15 ÷ 3 = 5이므로 12345는 3의 배수입니다. 이 규칙은 10 ≡ 1 (mod 3)이 성립하여 각 자릿수가 그 자체의 값으로 나머지에 기여하기 때문에 작동합니다.

4의 배수

끝 두 자리가 이루는 수가 4의 배수이면 원래 수도 4의 배수입니다. 12345의 끝 두 자리는 45이고, 45 ÷ 4 = 11.25이므로 12345는 4의 배수가 아닙니다. 100 = 4 × 25가 4의 배수이므로, 백의 자리 이상은 나머지에 영향을 주지 않습니다.

5의 배수

끝자리가 0 또는 5이면 5의 배수입니다. 2의 배수 판별과 같은 이유로, 10 ≡ 0 (mod 5)이기 때문에 일의 자릿수만 나머지를 결정합니다.

6의 배수

2의 배수이면서 동시에 3의 배수이면 6의 배수입니다. 6 = 2 × 3이고 gcd(2, 3) = 1이므로, 두 조건은 서로 독립적으로 모두 성립해야 합니다.

7의 배수

단순한 한 단계 판별법은 존재하지 않지만, 반복 적용 가능한 방법이 있습니다. 일의 자릿수를 2배 하여 나머지 자릿수로 이루어진 수에서 뺀 뒤, 결과가 충분히 작아질 때까지 반복합니다. 최종값이 0이거나 7의 배수이면 원래 수도 7의 배수입니다. 예를 들어 343을 검사할 때, 일의 자릿수 3을 2배 하면 6이고, 34 − 6 = 28입니다. 28 ÷ 7 = 4이므로 343은 7의 배수입니다. 이 계산기는 나머지를 직접 계산하므로 반복 연산 없이 결과를 확인할 수 있습니다.

8의 배수

끝 세 자리가 이루는 수가 8의 배수이면 원래 수도 8의 배수입니다. 1000 = 8 × 125가 8의 배수이므로, 천의 자리 이상은 나머지에 영향을 주지 않습니다. 12345의 끝 세 자리는 345이고, 345 ÷ 8 = 43.125이므로 12345는 8의 배수가 아닙니다.

9의 배수

자릿수 합이 9의 배수이면 원래 수도 9의 배수입니다. 3의 배수 판별과 동일한 원리이며, 10 ≡ 1 (mod 9)임을 이용합니다. 12345의 자릿수 합은 15이고, 15 ÷ 9 = 1.67이므로 12345는 9의 배수가 아닙니다.

10의 배수

끝자리가 0이면 10의 배수입니다. 2의 배수 판별법과 5의 배수 판별법을 동시에 만족하는 경우입니다.

11의 배수

오른쪽 끝자리부터 시작하여 교대로 더하고 빼는 교대 자릿수 합을 구합니다. 결과가 0이거나 11의 배수이면 원래 수도 11의 배수입니다. 12345의 경우, 오른쪽부터 계산하면 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3이고, 3은 11의 배수가 아니므로 12345는 11의 배수가 아닙니다. 이 규칙은 10 ≡ −1 (mod 11)이기 때문에, 각 자릿수가 교대로 +1과 −1을 곱한 값으로 나머지에 기여합니다.

계산 예시

55440은 2부터 11까지 각 수의 배수입니까?

• 2의 배수: 끝자리 0 → 예
• 3의 배수: 자릿수 합 5 + 5 + 4 + 4 + 0 = 18; 18 ÷ 3 = 6 → 예
• 4의 배수: 끝 두 자리 40; 40 ÷ 4 = 10 → 예
• 5의 배수: 끝자리 0 → 예
• 6의 배수: 2의 배수이면서 3의 배수 → 예
• 7의 배수: 55440 ÷ 7 = 7920 (나머지 없음) → 예
• 8의 배수: 끝 세 자리 440; 440 ÷ 8 = 55 → 예
• 9의 배수: 자릿수 합 18; 18 ÷ 9 = 2 → 예
• 10의 배수: 끝자리 0 → 예
• 11의 배수: 교대 자릿수 합 0 − 4 + 4 − 5 + 5 = 0 → 예

55440 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11로, 2부터 11까지의 모든 수의 배수입니다. 이 수의 소인수 분해 과정은 소인수분해 계산기에서 확인할 수 있습니다.

특수한 경우: 0

0은 모든 0이 아닌 정수의 배수입니다. 배수의 정의에 따라 0 = d × 0이 임의의 d에 대해 성립하기 때문입니다. 이 계산기는 n = 0을 입력하면 2부터 11까지의 모든 판별에서 "배수"로 표시합니다.

정밀도 한계

이 계산기는 절댓값이 10¹⁵ 이하인 정수에 대해 정확한 결과를 보장합니다. 이 범위를 초과하는 정수는 수치 표현의 한계로 인해 나머지 계산에 오류가 발생할 수 있습니다. 그보다 큰 수의 배수 판별이 필요한 경우에는 임의 정밀도 연산을 지원하는 전용 라이브러리를 이용하는 것이 적합합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

3과 9의 배수 판별에서 자릿수 합을 사용하는 이유는 무엇입니까?

10의 거듭제곱은 9로 나누었을 때 항상 나머지가 1입니다. 즉, 10 ≡ 1, 100 ≡ 1, 1000 ≡ 1 (mod 9)이 성립합니다. 이로 인해 어떤 정수를 9로 나눈 나머지는 각 자릿수의 합을 9로 나눈 나머지와 같아집니다. 예를 들어 12345의 자릿수 합은 1+2+3+4+5 = 15이고, 15를 9로 나눈 나머지는 6이므로 12345는 9의 배수가 아닙니다. 3의 경우에도 10 ≡ 1 (mod 3)이 성립하므로 동일한 논리가 적용됩니다.

7의 배수를 암산으로 판별하는 방법이 있습니까?

가장 실용적인 방법은 다음과 같습니다. 일의 자릿수를 2배 한 뒤, 나머지 자릿수로 구성된 수에서 그 값을 뺍니다. 결과가 7의 배수인지 판별하기 어려우면 같은 과정을 반복합니다. 예를 들어 343을 검사할 때, 일의 자릿수 3을 2배 하면 6이고, 34에서 6을 빼면 28이 됩니다. 28 ÷ 7 = 4이므로 343은 7의 배수입니다. 이 계산기는 나머지를 직접 계산하므로 큰 수에서 반복 연산 없이 결과를 확인할 수 있습니다.

0은 모든 수의 배수입니까?

수학의 표준 정의에 따르면, 정수 a가 0이 아닌 정수 d의 배수이려면 a = d × k를 만족하는 정수 k가 존재해야 합니다. a = 0일 때 k = 0으로 두면 0 = d × 0이 모든 d에 대해 성립합니다. 따라서 0은 모든 0이 아닌 정수의 배수입니다. 이 계산기는 n = 0을 입력하면 2부터 11까지의 모든 판별에서 "배수"로 표시합니다.

11보다 큰 소수에 대한 배수 판별법도 있습니까?

판별법이 존재하지만 점차 복잡해집니다. 13의 경우, 일의 자릿수를 4배 한 뒤 나머지 수에 더하는 방식을 반복합니다. 17의 경우에는 일의 자릿수를 5배 하고 나머지 수에서 뺍니다. 19의 경우에는 일의 자릿수를 2배 하고 나머지 수에 더합니다. 이 방법들은 해당 소수를 법(法, modulus)으로 한 10의 곱셈 역원을 이용하는 원리로, 7과 11의 판별법과 같은 수론적 근거를 공유합니다. 실제로는 13보다 큰 소수에 대해서는 직접 나눗셈이나 계산기를 이용하는 편이 더 효율적입니다.