최종 업데이트: 2026-06-04

등비수열은 이웃하는 두 항의 비가 항상 일정한 수열입니다. 이 일정한 비를 공비(r)라 하고, 수열의 첫 번째 항을 첫째 항(a₁)이라 합니다. 수열은 다음과 같이 나열됩니다.

$$a_1,\quad a_1 r,\quad a_1 r^2,\quad a_1 r^3,\quad \ldots$$

예를 들어 2, 6, 18, 54, …는 첫째 항 2, 공비 3인 등비수열입니다.

n번째 항의 공식

등비수열의 n번째 항은 다음과 같이 구합니다.

$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

원리: a₁에서 aₙ까지 가려면 공비 r을 정확히 n − 1번 곱해야 합니다. 첫째 항(n = 1)에서 지수가 0이 되어 a₁ · r⁰ = a₁이 됩니다.

계산 예. a₁ = 3, r = 2인 수열에서 5번째 항은 다음과 같습니다.

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

처음 n항의 합

처음 n항의 합(Sₙ)은 합을 S라 하고 여기에 r을 곱한 식을 빼는 방법으로 유도됩니다.

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$

유도 과정. Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹로 정의하면, r·Sₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ이 됩니다. Sₙ − r·Sₙ을 계산하면 중간 항이 모두 소거되어 Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ)을 얻습니다.

r = 1이면 모든 항이 a₁로 같으므로 합은 단순히 Sₙ = n · a₁이 됩니다.

계산 예. a₁ = 5, r = 3인 수열의 처음 4항의 합을 구합니다. 각 항은 5, 15, 45, 135이고, 공식을 적용하면 다음과 같습니다.

$$S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 5 \cdot 40 = 200$$

직접 더해서 확인: 5 + 15 + 45 + 135 = 200 ✓

무한 등비급수

공비의 절댓값이 1보다 작을 때(|r| < 1), 각 항이 0에 수렴하므로 부분합은 유한한 값으로 모입니다.

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \quad (|r| < 1)$$

이 결과는 Sₙ 공식에서 n → ∞로 보낼 때 rⁿ → 0이 되는 것을 이용합니다. |r| ≥ 1이면 각 항이 0으로 줄어들지 않으므로 급수는 발산합니다.

계산 예. 높이 10 m에서 공을 떨어뜨리면 매번 이전 높이의 60%까지 튀어오릅니다(r = 0.6). 처음 튀어오른 이후 올라가는 거리의 합은 다음과 같습니다.

$$S_\infty = \frac{6}{1 - 0.6} = \frac{6}{0.4} = 15 \text{ m}$$

수렴 조건 정리

공비의 범위	급수의 거동
|r| < 1	수렴. S∞ = a₁ / (1 − r)
r = 1	발산. 모든 항이 a₁로 같아 부분합이 무한히 커집니다.
r = −1	발산. 항이 a₁과 −a₁ 사이를 진동합니다.
|r| > 1	발산. 각 항의 절댓값이 무한히 커집니다.

지수 성장·감소와의 관계

등비수열 aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹은 정수 위치에서 표본을 뽑은 지수 함수입니다.

• r > 1: 지수 성장. 복리 이자, 인구 증가, 세포 분열 등에 활용됩니다.
• 0 < r < 1: 지수 감소. 방사성 원소의 붕괴, 약물 혈중 농도 감소 등에 해당합니다.
• r < 0: 부호가 교대하는 진동 수열입니다.

연속 함수로 일반화하면 f(t) = a · eᵏᵗ 형태가 됩니다(k = ln r).

복리와의 관계

복리 이자 계산은 등비수열의 대표적 응용입니다. 원금 P에 연이율 i를 적용하면 n년 후의 잔액은 다음과 같습니다.

$$A_n = P \cdot (1 + i)^n$$

이는 첫째 항 a₁ = P(1 + i), 공비 r = (1 + i)인 등비수열입니다. 매기 일정 금액을 납입하는 연금의 미래 가치는 처음 n항의 합 공식으로 구할 수 있습니다.

복리 계산기도 함께 참고하시기 바랍니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

무한 등비급수가 수렴하는 조건은 무엇인가요?

무한 등비급수 S∞ = a₁ / (1 − r)이 수렴하려면 공비의 절댓값이 1보다 작아야 합니다(|r| < 1). |r| ≥ 1이면 각 항이 0으로 줄어들지 않으므로 부분합은 한없이 커지거나(r > 1), r = −1인 경우 a₁과 0 사이를 진동하며 발산합니다.

공비가 음수이면 어떻게 되나요?

공비 r이 음수이면 각 항의 부호가 양수, 음수로 교대합니다. 예를 들어 a₁ = 4, r = −0.5이면 수열은 4, −2, 1, −0.5, 0.25, …가 됩니다. |r| = 0.5 < 1이므로 무한 등비급수는 수렴하며 S∞ = 4 / (1 − (−0.5)) = 4 / 1.5 ≈ 2.667입니다.

등비수열과 지수 성장은 어떤 관계인가요?

등비수열은 정수 위치에서 표본을 뽑은 지수 함수입니다. aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹에서 r > 1이면 지수적으로 증가하고(복리 이자, 인구 증가 등), 0 < r < 1이면 지수적으로 감소합니다(방사성 붕괴, 약물 농도 감소 등). 이를 연속 함수로 확장하면 f(t) = a · eᵏᵗ 형태가 됩니다.

공비에 분수나 소수를 사용할 수 있나요?

공비 r은 0이 아닌 임의의 실수가 될 수 있습니다. r = 1/2이면 각 항이 절반으로 줄어 1, 0.5, 0.25, …가 되고, r = 3/2이면 각 항이 50% 증가해 1, 1.5, 2.25, 3.375, …가 됩니다. r = 0은 표준 공식이 성립하지 않으며, r = 1이면 모든 항이 a₁로 같아져 무한 등비급수는 발산합니다.