최종 업데이트: 2026-05-20

완전제곱식 변환

완전제곱식 변환은 이차식 $ax^2 + bx + c$를 꼭짓점 형태 $a(x - h)^2 + k$로 바꾸는 과정입니다. 변환 결과에서 꼭짓점 $(h, k)$를 바로 읽을 수 있고, 포물선의 대칭축과 최댓값·최솟값도 알 수 있습니다. 이 계산기는 변환 결과와 함께 단계별 풀이 과정도 보여줍니다.

완전제곱식 변환 공식

$ax^2 + bx + c$에서 시작합니다.

1단계 — h 구하기 (꼭짓점의 x좌표):

$$h = -\frac{b}{2a}$$

2단계 — k 구하기 (꼭짓점의 y좌표):

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

3단계 — 꼭짓점 형태로 쓰기:

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

공식 유도

앞의 두 항에서 $a$를 묶어 낸 뒤 괄호 안에 완전제곱항을 추가합니다.

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

괄호 안에 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$을 더하면 괄호 밖에서 $a \cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a}$를 뺀 것과 같으므로 식의 값은 변하지 않습니다. $h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$를 대입하면 $a(x - h)^2 + k$가 됩니다.

계산 예시

$x^2 - 6x + 11$을 꼭짓점 형태로 변환합니다.

$a = 1$, $b = -6$, $c = 11$로 놓으면

$$h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$ $$k = 11 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 11 - 9 = 2$$ $$x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$$

검산: $(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$ ✓

꼭짓점은 $(3, 2)$이고, 대칭축은 $x = 3$이며, 최솟값은 $2$입니다.

꼭짓점이 알려주는 정보

항목	값
꼭짓점	$(h,\, k)$
대칭축	$x = h$
최솟값 ($a > 0$인 경우)	$x = h$에서 $y = k$
최댓값 ($a < 0$인 경우)	$x = h$에서 $y = k$

$a > 0$이면 포물선이 위로 열리는 ∪ 모양이 되어 꼭짓점이 가장 낮은 점입니다. $a < 0$이면 아래로 열리는 ∩ 모양이 되어 꼭짓점이 가장 높은 점입니다. $|a|$가 클수록 포물선이 좁고 가파르며, $|a|$가 작을수록 넓고 완만합니다.

근의 공식 유도

완전제곱식 변환은 근의 공식의 증명이기도 합니다. $ax^2 + bx + c = 0$을 꼭짓점 형태로 변환한 뒤 x에 대해 풀면

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

$h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$를 대입하고 정리하면

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

이것이 바로 근의 공식입니다. 완전제곱식 변환이 근의 공식이 성립하는 이유를 설명합니다.

완전제곱식 변환이 활용되는 곳

• 꼭짓점 찾기 — 그래프를 그리지 않고 최댓값·최솟값 결정.
• 이차방정식 풀기 — 인수분해가 어려울 때 꼭짓점 형태에서 직접 풀이.
• 근의 공식 증명 — 교과서적 유도 방법의 핵심 단계.
• 물리학·공학 응용 — 포물선 운동, 광학, 안테나 설계 등에서 포물선 분석.
• 미적분 준비 — 유리함수의 적분에서 꼭짓점 형태를 이용하면 계산이 단순해짐.

자주 묻는 질문 (FAQ)

완전제곱식으로 변환하면 무엇이 좋나요?

ax² + bx + c를 a(x − h)² + k로 변환하면 꼭짓점 (h, k)를 식에서 바로 읽을 수 있습니다. a > 0이면 꼭짓점이 최솟값이 되고, a < 0이면 최댓값이 됩니다. 미분 없이 이차함수의 극값을 구할 수 있고, 대칭축 x = h도 한눈에 파악됩니다. 또한 이차방정식을 풀거나 근의 공식을 유도할 때도 이 변환이 출발점이 됩니다.

완전제곱식 변환과 근의 공식은 어떤 관계인가요?

근의 공식은 ax² + bx + c = 0에 완전제곱식 변환을 적용하여 유도합니다. 양변을 a로 나눈 뒤 (b/(2a))²를 더하고 빼서 완전제곱식을 만들면 (x + b/(2a))² = (b² − 4ac) / (4a²)가 됩니다. 양변에 제곱근을 취하고 x를 정리하면 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), 즉 근의 공식이 됩니다. 완전제곱식 변환이 근의 공식의 증명 그 자체입니다.

꼭짓점 (h, k)는 무엇을 나타내나요?

꼭짓점은 포물선에서 방향이 바뀌는 전환점입니다. a > 0이면 포물선이 위로 열리고 꼭짓점은 최솟값이 됩니다. 즉, ax² + bx + c의 최솟값은 k이며 x = h에서 달성됩니다. a < 0이면 포물선이 아래로 열리고 꼭짓점 (h, k)는 최댓값입니다. 대칭축은 직선 x = h이며, 포물선은 이 축을 기준으로 좌우 대칭입니다.

a의 부호가 포물선 모양에 어떤 영향을 주나요?

a > 0이면 포물선이 위로 열리는 ∪ 모양이 되어 꼭짓점이 최솟값입니다. a < 0이면 아래로 열리는 ∩ 모양이 되어 꼭짓점이 최댓값입니다. |a|의 크기는 포물선의 폭을 결정합니다. |a|가 클수록 포물선이 좁고 가파르며, |a|가 작을수록 넓고 완만합니다. a = 0이면 이차식이 일차식으로 바뀌어 포물선이 아닌 직선이 되므로 완전제곱식 변환을 적용할 수 없습니다.