최종 업데이트: 2026-07-01

복소수의 사칙연산

복소수는 실수부와 허수부를 하나의 값으로 결합한 것으로, 허수 단위 i(i² = −1로 정의됨)를 사용해 a + bi로 씁니다. a는 실수부, b는 허수부의 계수입니다. 이 계산기는 두 복소수 z₁ = a + bi와 z₂ = c + di를 받아 선택한 연산(덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈)을 수행하고, 결과와 함께 그 절댓값과 편각을 알려 줍니다.

복소수는 실수 직선을 2차원 평면으로 확장하므로 전기공학, 신호처리, 제어이론, 양자역학에서 빼놓을 수 없는 도구입니다.

네 가지 연산

덧셈과 뺄셈은 벡터를 더할 때처럼 성분별로 이루어집니다.

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

곱셈은 두 이항식의 곱처럼 전개하며, i² = −1을 이용해 i² 항을 실수부로 되돌립니다.

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레 c − di를 곱합니다. 그러면 분모에서 허수부가 사라지고 실수 c² + d²만 남습니다.

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

나눗셈은 c² + d² = 0이 되는 0 + 0i를 제외한 모든 z₂에 대해 정의됩니다.

풀이 예시

문제: z₁ = 3 + 4i에 z₂ = 1 + 2i를 곱하세요.

a = 3, b = 4, c = 1, d = 2로 두고 곱셈 규칙을 적용합니다.

• 실수부: ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• 허수부: ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

따라서 z₁ z₂ = −5 + 10i입니다.

결과의 절댓값은 √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11.18이고, 편각은 atan2(10, −5) ≈ 116.57°입니다. 실수부가 음수이고 허수부가 양수이므로 제2사분면에 위치합니다.

절댓값과 편각

모든 복소수는 평면 위의 한 점에 대응하며, 실수부는 가로축, 허수부는 세로축에 놓입니다. 그 점은 두 가지 극좌표 값으로 설명됩니다.

• 절댓값 r = √(x² + y²)는 원점으로부터의 거리로, 수의 크기를 나타냅니다.
• 편각 φ는 양의 실수축에서 측정한 각도입니다. 두 인수 아크탄젠트 φ = atan2(y, x)를 사용하면 올바른 사분면의 각도가 나오며, 값은 −180°에서 180°(라디안으로는 −π에서 π) 범위가 됩니다.

직교형식과 극형식

직교형식 x + yi는 가로·세로 좌표를 그대로 나열합니다. 극형식 r(cos φ + i sin φ)는 대신 거리와 각도를 사용합니다. 두 형식은 같은 수를 나타내며, 어느 것을 쓸지는 편의의 문제입니다.

덧셈과 뺄셈은 성분이 독립적으로 결합되므로 직교형식이 가장 간단합니다. 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱은 절댓값끼리 곱하거나 나누고 편각끼리 더하거나 빼면 되므로 극형식이 가장 간단합니다. 드무아브르 정리는 바로 이 성질에 기반하여, 복소수를 거듭제곱하는 번거로운 작업을 편각을 정수배 하는 한 번의 연산으로 바꿔 줍니다.