최종 업데이트: 2026-06-04

내적이란

내적(內積, dot product)은 같은 차원의 두 벡터를 입력받아 하나의 스칼라를 반환하는 연산입니다. 스칼라 곱(scalar product) 또는 내부 곱(inner product)이라고도 합니다. 벡터 a = (a₁, a₂, …, aₙ)과 b = (b₁, b₂, …, bₙ)에 대해 내적은 다음과 같이 정의됩니다.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$

대응하는 성분끼리 곱한 뒤 모두 더하는 이 대수적 정의는 계산이 간단하지만, 내적에는 기하학적 의미도 있어 물리학과 컴퓨터 그래픽스에서 매우 유용하게 활용됩니다.

기하학적 의미

내적은 두 벡터 사이의 각도 θ를 통해 대수와 기하학을 연결합니다.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos\theta$

여기서 |a|와 |b|는 각 벡터의 크기(길이)입니다. 이를 θ에 대해 정리하면 이 계산기에서 사용하는 각도 공식을 얻을 수 있습니다.

$\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}\right)$

내적의 부호는 다음과 같이 해석됩니다.

• 양수 (θ < 90°): 두 벡터가 같은 방향으로 기울어져 있음
• 0 (θ = 90°): 두 벡터가 서로 수직(직교)
• 음수 (θ > 90°): 두 벡터가 서로 반대 방향을 향하는 성분이 있음 (반평행에 가까움)

기하학적으로 a · b는 |a|에 b를 a 방향으로 정사영한 스칼라 길이를 곱한 값과 같습니다.

계산 예제

a = (2, 3, −1), b = (4, −1, 2)로 계산하겠습니다.

1단계 — 내적 계산:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(4) + (3)(-1) + (-1)(2) = 8 - 3 - 2 = \mathbf{3}$

2단계 — 크기 계산:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3.7417$

$|\mathbf{b}| = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \approx 4.5826$

3단계 — 각도 계산:

$\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{14} \times \sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{294}} \approx 0.1750$

$\theta = \arccos(0.1750) \approx \mathbf{79.92°}$

두 벡터는 거의 수직에 가깝지만 완전한 직교는 아닙니다. 내적 값 3이 양수이므로 같은 방향의 성분이 작게나마 존재합니다.

직교

두 벡터의 내적이 정확히 0이면 두 벡터는 직교(直交, orthogonal)합니다. 이는 차원에 관계없이 두 벡터가 서로 수직임을 의미합니다. 예를 들어 표준기저벡터 (1, 0, 0)과 (0, 1, 0)은 직교하고, 2차원에서는 (3, 4)와 (−4, 3)도 직교합니다.

직교성은 수학·과학 전반에서 핵심적인 역할을 합니다.

• 신호처리: 푸리에 성분은 서로 직교하는 기저함수로 구성됩니다.
• 양자역학: 독립적인 양자 상태는 직교하는 벡터로 표현됩니다.
• 기계학습: 서로 상관관계가 없는 특징(feature)은 직교에 가까운 벡터로 나타납니다.

벡터 정사영

내적의 가장 실용적인 응용 중 하나는 정사영(正射影, projection) 계산입니다.

a를 b 방향으로 정사영한 스칼라 정사영은 다음과 같습니다.

$\text{proj}_{\text{스칼라}} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$

b 방향의 벡터로 나타낸 벡터 정사영은 다음과 같습니다.

$\text{proj}_{\text{벡터}} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2} \, \mathbf{b}$

예를 들어 a = (5, 3), b = (1, 0)이면 스칼라 정사영은 5이고 벡터 정사영은 (5, 0)입니다. 이는 a의 수평 성분에 해당합니다.

활용 분야

내적은 자연과학과 공학의 다양한 분야에서 사용됩니다.

• 물리학의 일: W = F · d (힘 벡터와 변위 벡터의 내적)
• 3차원 그래픽스의 음영 처리: 표면 밝기는 법선 벡터와 광원 방향의 내적에 비례합니다.
• 자연어 처리 및 추천 시스템의 코사인 유사도: 문서 벡터나 선호도 벡터가 얼마나 유사한지 측정합니다.
• 최소자승 회귀: 잔차 벡터와 기저벡터의 내적이 0이 되는 조건에서 정규방정식을 도출합니다.
• 그람-슈미트 직교화: 임의의 벡터 집합에서 정사영을 반복하여 직교 기저를 구성합니다.

내적과 외적의 관계

3차원 벡터에서 내적 a · b = |a| |b| cos θ는 두 벡터의 정렬 정도를 나타내고, 외적 a × b의 크기 |a| |b| sin θ는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이, 즉 수직 성분을 나타냅니다. 내적이 0이면 두 벡터는 직교하고, 외적의 크기가 0이면 두 벡터는 평행합니다. 이 두 연산을 함께 사용하면 3차원 공간에서 임의의 두 벡터 사이의 관계를 완전히 기술할 수 있습니다.