최종 업데이트: 2026-07-01

사다리꼴 공식

사다리꼴 공식은 표본점 사이의 곡선을 직선 조각으로 바꾸어 정적분을 추정합니다. 각 띠가 사다리꼴이 되고, 적분은 이 사다리꼴들의 넓이 합으로 근사됩니다.

구간 [a, b]를 너비가 같은 n개의 소구간(h = (b − a) / n)으로 나누면 격자점은 x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b로 n + 1개가 됩니다. 각 점에서 함수를 계산하면 값 f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ)을 얻고, 추정값은 다음과 같습니다.

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

이 계산기는 입력한 수식이 아니라 표본으로 주어진 함수값으로 계산합니다. 등간격으로 놓인 n + 1개 점에서의 f를 제공하는 방식으로, 데이터가 측정값이나 표에서 나오는 상황과 정확히 맞아떨어집니다.

가중치가 1, 2, 2, …, 2, 1인 이유

소구간 하나 [xᵢ, xᵢ₊₁]은 평행한 변 f(xᵢ)와 f(xᵢ₊₁), 너비 h를 가진 사다리꼴을 만듭니다. 그 넓이는 (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁))입니다. n개의 사다리꼴 넓이를 더하면, 내부의 각 점은 이웃한 두 사다리꼴이 공유하므로 두 번 나타나고, 두 끝점은 한 번만 나타납니다. 여기서 잘 알려진 가중치 1, 2, 2, …, 2, 1에 모두 h/2를 곱한 형태가 나옵니다. 내부에서 쓰는 편리한 변형은 다음과 같습니다.

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ]

이는 모든 값을 두 번 더한 뒤 끝점을 한 번씩 빼는 형태입니다.

풀이 예제

n = 4개의 소구간으로 ∫₀¹ x² dx를 추정합니다. 간격은 h = (1 − 0) / 4 = 0.25이고 격자점은 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1입니다. x²의 값은 다음과 같습니다.

공식을 적용하면:

∫ ≈ (0.25/2)·[0 + 2(0.0625) + 2(0.25) + 2(0.5625) + 1] ∫ ≈ 0.125·[0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 + 1] = 0.125·2.75 = 0.34375

정확한 값은 1/3 ≈ 0.33333이므로 네 개의 띠만으로도 이미 약 0.01 이내입니다. n = 10으로 세분하면 0.335, n = 100이면 0.333325가 되어 오차는 대략 h²에 비례해 줄어듭니다.

오차의 양상

사다리꼴 공식은 2차 정확도이며, h를 절반으로 줄이면 오차는 약 4분의 1로 작아집니다. 두 번 미분 가능한 함수의 경우 [a, b]에서의 오차는 구간 안의 어떤 ξ에 대해

E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)

입니다. 이계도함수의 부호에서 두 가지가 따라옵니다.

• 아래로 볼록한 곡선(f″ > 0)에서는 현이 곡선 위를 지나므로 공식이 적분을 과대평가합니다.
• 위로 볼록한 곡선(f″ < 0)에서는 현이 아래를 지나므로 과소평가합니다.

직선에서는 f″ = 0이므로 사다리꼴 공식이 정확합니다. 각 띠가 진짜 사다리꼴이라 놓치는 굽음이 없습니다.

사다리꼴 공식과 심프슨 공식

심프슨 공식은 직선 대신 소구간 쌍마다 포물선을 맞춥니다. 오차가 h⁴에 비례하므로 매끄러운 함수에서는 같은 점 수로도 훨씬 빠르게 수렴합니다. 대신 심프슨 공식은 소구간 수가 짝수여야 하지만, 사다리꼴 공식은 어떤 n이든 가능합니다. 또한 사다리꼴 공식은 잡음이 있거나 불규칙한 데이터에 더 강건한데, 흩어진 점에 포물선을 억지로 맞추면 잡음이 증폭될 수 있기 때문입니다.

실용 지침: 빠른 추정, 표로 된 데이터, n이 홀수여야 할 때는 사다리꼴 공식을, 함수가 매끄럽고 같은 표본 수로 높은 정확도를 원할 때는 심프슨 공식을 사용하세요.

실용 참고

• 개수를 맞추세요. 소구간 n개에는 정확히 n + 1개의 값(격자점마다 하나)이 필요합니다. 불일치가 있으면 간격이 일정하게 유지되도록 계산기가 알려 줍니다.
• 순서를 지키세요. 값은 x₀ = a부터 xₙ = b까지 나열합니다. 끝점은 내부 점과 가중치가 다르므로 순서가 중요합니다.
• 끝점이 뒤바뀐 경우. a가 b보다 크면 간격이 음수가 되어 결과의 부호가 뒤집힙니다. 이는 적분 끝점을 바꾸는 관례와 일치합니다.
• 등간격만 해당. 이는 균일 격자에서의 사다리꼴 공식입니다. 불균일하게 떨어진 데이터에는 띠마다 너비를 쓰는 일반 사다리꼴 공식이 필요합니다.

관련 계산기

• 다항식 정적분 계산기 — 미적분의 기본 정리를 통한 다항식의 정확한 적분
• 특정 점에서의 미분 계산기 — 한 점에서의 수치 미분
• 등차수열 계산기 — 등간격 값의 항과 합