특정 점에서의 미분 계산기

최종 업데이트: 2026-05-26

특정 점에서의 미분

다항식 P(x)의 x₀에서의 미분값 P′(x₀)은 x₀에서의 순간변화율로, 그 점에서 곡선이 갖는 기울기입니다. 구간 [x₀, x₀ + h]를 점점 좁혀 0에 가깝게 할 때 할선의 기울기가 수렴하는 극한값으로 정의합니다.

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

접선은 x₀ 근방에서 곡선을 가장 잘 근사하는 직선입니다. x₀에서 멀어질수록 곡선과 접선의 차이는 (Δx)²에 비례해 커지므로, 가까운 범위에서는 뛰어난 선형 근사가 됩니다.

사용 범위: 이 계산기는 다항식 전용입니다. sin, exp, ln 등 초월함수의 기호 미분은 지원하지 않습니다.

거듭제곱 법칙

항 aₙxⁿ 하나의 도함수는 다음과 같습니다.

$\frac{d}{dx}[a_n x^n] = n \cdot a_n x^{n-1}$

다항식 전체에 항별로 적용하면:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

$P'(x) = n\,a_n\, x^{n-1} + (n-1)\,a_{n-1}\, x^{n-2} + \cdots + a_1$

상수항은 미분하면 0이 되어 사라지고, 도함수의 차수는 원래 다항식보다 1 낮아집니다.

풀이 예제

P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 (계수: 1, -3, 2, 5), x = 2에서 계산해 봅니다.

1단계 — 호너(Horner) 방법으로 P(2) 계산:

$P(2) = ((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 5 = 5$

2단계 — 거듭제곱 법칙으로 도함수 구하기:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

3단계 — P′(2) 계산:

$P'(2) = 3(4) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

4단계 — 접선의 방정식 작성:

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x - 2) + 5 = 2x + 1$

접선은 점 (2, 5)에서 기울기 2로 곡선에 접합니다.

계수 입력 방법

없는 차수의 계수도 반드시 0으로 입력해야 합니다. x⁴ − 1에서 x³, x², x¹의 계수는 모두 0이므로 1, 0, 0, 0, -1로 입력합니다.

도함수 계수 출력

계산기는 P′(x)의 계수도 최고차항부터 순서대로 출력합니다. P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5의 경우:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{계수: } 3, -6, 2$

이 계수를 다시 입력하면 P″(x)를 구할 수 있고, 이차방정식 풀이기에 붙여넣어 P′(x) = 0의 해(극값 후보)를 찾을 수도 있습니다.

평균변화율 계산기는 두 점 사이의 할선 기울기, 즉 미분의 이산적 유사 개념을 계산합니다. 두 점을 가까이 붙일수록 할선의 기울기가 이 계산기의 결과인 순간 기울기(도함수)에 수렴합니다.

접선 방정식을 검산하려면 두 점을 지나는 직선의 방정식, 두 점 사이의 기울기를 확인하려면 직선의 기울기 계산기를 활용합니다.