최종 업데이트: 2026-05-19

이 계산기로 풀 수 있는 것

사인 법칙은 삼각형의 각 변과 그 대각의 사인(sin) 값을 연결하는 기본 공식입니다. 두 각도와 그중 하나의 대변(AAS 구성)을 입력하면 세 번째 각도, 나머지 두 변, 넓이, 외접원 반지름을 모두 구할 수 있습니다.

사인 법칙

변 $a$, $b$, $c$와 대각 $A$, $B$, $C$를 가진 임의의 삼각형에서:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

이 공통 비율은 외접원의 지름과 같습니다.

AAS 삼각형 단계별 풀이

주어진 값: 각 $A$, 변 $a$($A$의 대변), 각 $B$

1단계: 세 번째 각도 구하기

$C = 180° - A - B$

두 각도가 삼각형의 형태를 완전히 결정하고, 알고 있는 변이 크기를 결정합니다.

2단계: 미지의 변 구하기

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

3단계: 넓이 구하기

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

4단계: 외접원 반지름 구하기

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

계산 예시

입력: $A = 30°$, $a = 10$, $B = 45°$

$C = 180° - 30° - 45° = 105°$

$b = \frac{10 \sin 45°}{\sin 30°} = 10\sqrt{2} \approx 14.142$

$c = \frac{10 \sin 105°}{\sin 30°} \approx 19.319$

$S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 14.142 \times \sin 105° \approx 68.30$

$R = \frac{10}{2 \sin 30°} = 10$

검증: $b / \sin B = 14.142 / \sin 45° = 20 = 2R$ — 사인 법칙이 성립합니다.

공식의 원리: 외접원으로부터의 유도

외접원(반지름 $R$)을 그리고, 꼭짓점 $A$에서 지름을 연장하여 원 위의 점 $D$를 잡습니다. 반원에 대한 원주각은 직각(탈레스 정리)이므로 $\sin(\angle ADB) = a/(2R)$가 성립합니다. 원주각 정리에 의해 $\angle ADB = A$이므로:

$\sin A = \frac{a}{2R} \implies \frac{a}{\sin A} = 2R$

사인 법칙과 코사인 법칙 구분

알고 있는 값	사용할 공식
두 각도 + 임의의 변(AAS 또는 ASA)	사인 법칙
두 변 + 사잇각(SAS)	코사인 법칙
세 변 모두(SSS)	코사인 법칙
두 변 + 비사잇각(SSA)	사인 법칙 (이중해 주의)

이중해(모호한 경우)

이중해 문제는 SSA 구성에서만 발생합니다. 이 계산기는 AAS를 사용하므로 $C = 180° − A − B$로 세 번째 각이 하나로 결정되어 이중해가 발생하지 않습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

사인 법칙과 코사인 법칙은 어떻게 구분해서 씁니까?

각도와 그 대변을 알고 있을 때(AAS, ASA)는 사인 법칙을 씁니다. 두 변과 그 사잇각(SAS)이나 세 변 모두(SSS)를 알고 있을 때는 코사인 법칙이 적합합니다. 간단한 기준: 알고 있는 각도 바로 맞은편에 알고 있는 변이 있으면 사인 법칙을 사용하십시오.

사인 법칙의 이중해 문제란 무엇입니까?

이중해 문제는 SSA 구성(두 변 + 포함되지 않은 각)에서 발생합니다. 변 a가 높이 h = b sin A보다 짧으면 삼각형이 존재하지 않고, h < a < b이면 두 가지 삼각형이 가능합니다. 이 계산기는 AAS를 사용하므로 세 번째 각이 C = 180° − A − B로 하나로 결정되어 이중해 문제가 생기지 않습니다.

사인 법칙과 외접원 반지름은 어떤 관계입니까?

확장 사인 법칙에 따르면 a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R으로, 이 공통 비율이 외접원의 지름과 같습니다. 따라서 R = a / (2 sin A)가 직접 구해집니다. 직각삼각형(C = 90°)에서는 R = c/2 로, 외접원 반지름이 빗변의 절반이라는 유명한 성질이 도출됩니다.

AAS와 ASA의 차이는 무엇입니까?

ASA(각-변-각)는 알고 있는 변이 두 각 사이에 있는 구성이고, AAS(각-각-변)는 알고 있는 변이 한 각의 대변인 구성입니다. 두 경우 모두 삼각형이 하나로 결정되며 풀이 과정도 동일합니다: C = 180° − A − B로 세 번째 각을 구한 뒤 사인 법칙을 적용합니다.