최종 업데이트: 2026-07-01

카이제곱 독립성 검정

카이제곱 독립성 검정은 같은 대상에서 측정한 두 범주형 변수가 서로 관련이 있는지 아니면 독립인지를 묻습니다. 데이터는 분할표에 담기며, 각 셀에는 범주 조합에 해당하는 관측 수가 들어갑니다 — 2×2 표라면 변수마다 두 개의 범주를 가집니다. 검정은 실제로 관측한 도수를, 두 변수에 아무 관계가 없을 때 기대되는 도수와 비교하여 통계량, 자유도, p값을 돌려줍니다. 치료가 결과와 관련이 있는지, 선호가 집단 소속에 따라 달라지는지, 두 설문 응답이 함께 움직이는지와 같은 질문에 쓰이는 표준 도구입니다.

독립성 아래에서의 기대 도수

두 변수가 독립이라면, 어느 행에 속한 표본의 비율도 어떤 열을 보느냐에 따라 달라지지 않아야 합니다. 이로써 각 셀에 들어가야 할 값이 정해집니다. 한 셀의 기대 도수는 그 행 합계와 열 합계의 곱을 전체 합계로 나눈 값입니다.

$E_{ij} = \frac{(\text{행 } i \text{ 합계})\,(\text{열 } j \text{ 합계})}{N}$

여기서 $N$은 전체 관측 수입니다. 이는 단지 행 $i$에 속한 표본 비율과 열 $j$에 속한 비율을 곱한 뒤 다시 $N$으로 환산한 것입니다. 핵심은 기대 도수를 직접 주는 것이 아니라 표 자체의 주변 합계에서 얻는다는 점이며, 이것이 적합도 검정과의 차이입니다.

통계량

검정은 관측과 기대의 간극을 피어슨 통계량으로 요약합니다.

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

모든 셀에 대해 합산하며, $O$는 관측 도수, $E$는 기대 도수입니다. 각 편차의 제곱을 기대 도수로 나누므로, 5가 기대될 때의 10만큼의 차이는 크게, 5000이 기대될 때의 차이는 작게 계산됩니다. 합은 표가 독립성에서 멀어질수록 커지는 하나의 수가 됩니다. 관측 도수가 기대 도수와 정확히 같으면 각 항이 0이 되어 $\chi^2 = 0$입니다.

2×2 표에서는 전체 합이 간결한 대수적 지름길로 정리됩니다. 셀을 다음과 같이 표기하면

통계량은 다음과 같습니다.

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

분모의 네 인수는 두 행 합계와 두 열 합계입니다. 교차곱 항 $ad - bc$는 표가 비례에서 얼마나 벗어났는지를 재며, 행이 비례할 때, 즉 완전한 독립일 때 정확히 0이 됩니다.

자유도와 p값

통계량은 자유도에 따라 모양이 정해지는 카이제곱 분포와 비교됩니다. 분할표에서는

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

이며 $r$은 행 수, $c$는 열 수입니다. 따라서 2×2 표의 자유도는 1입니다. 직관적으로, 행 합계와 열 합계가 정해지면 한 셀만 채워도 나머지가 모두 결정되므로 자유롭게 변할 수 있는 셀은 하나뿐입니다.

p값은 상측 확률, 즉 두 변수가 독립일 때 관측된 통계량 이상을 볼 확률입니다. 이 검정은 본질적으로 상측 단측 검정이어서, $\chi^2$가 큰 경우만 관련의 신호가 되고 작은 경우는 표가 독립에 가깝다는 뜻입니다. p값을 유의수준 $\alpha$(흔히 5%)와 비교하세요. $p < \alpha$이면 독립으로부터의 이탈이 표본 잡음으로 설명하기 어려울 만큼 크므로 변수가 관련되어 있다고 결론짓습니다. $p \ge \alpha$이면 데이터는 독립과 모순되지 않으나, 이는 변수가 무관하다고 증명하는 것과는 다릅니다.

계산 예시

어느 병원이 두 치료 아래에서 환자의 회복 여부를 기록했다고 합시다.

여기서 $a = 30$, $b = 10$, $c = 20$, $d = 40$, $N = 100$입니다. 지름길을 쓰면

2×2 표이므로 검정의 자유도는 1입니다. 자유도 1에서 $\chi^2 \approx 16.667$에 대한 상측 p값은 약 $0.0000446$입니다. $p \lt 0.01$이므로 회복이 치료와 관련되어 있다는 강한 증거가 있으며, 치료 A 환자들은 독립성이 예측하는 것보다 훨씬 자주 회복했습니다.

가정

카이제곱 근사는 몇 가지 조건에 의존합니다. 기대 도수는 어느 정도 커야 하며, 널리 쓰이는 경험 법칙은 모든 기대 도수가 5 이상일 것을 요구합니다. 기대 도수가 작은 2×2 표에서는 예이츠 연속성 보정을 적용하거나 피셔의 정확검정으로 전환하세요. 관측은 독립이어야 하고 각 대상은 한 번만 세어져 정확히 하나의 셀에 들어가야 하므로, 이 검정은 대응 표본이나 반복 측정에는 적용되지 않습니다(그럴 때는 맥니마 검정을 씁니다). 끝으로, 이 검정은 백분율이나 비율이 아니라 원 도수에 대해 수행하므로, 비율은 입력 전에 도수로 변환하세요.

두 변수끼리가 아니라 하나의 범주형 변수를 고정된 가설 분포와 비교하려면 카이제곱 적합도 검정를, z 통계량을 꼬리 확률로 변환하려면 z값으로 p값 구하기를 참고하세요.