최종 업데이트: 2026-05-19

직선의 방정식

좌표 평면 위의 직선은 그 위에 있는 두 점으로 완전히 결정됩니다. P₁ = (x₁, y₁), P₂ = (x₂, y₂)가 주어지면 기울기와 y절편을 구해 세 가지 표준 형식으로 방정식을 나타낼 수 있습니다. 각 형식은 쓰임새가 다릅니다.

세 가지 표준 형식

기울기-절편형: y = mx + b

가장 많이 쓰이는 형식입니다. m은 기울기(y의 변화량 ÷ x의 변화량), b는 y절편(직선이 y축과 만나는 y값)을 나타냅니다.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$b = y_1 - m \cdot x_1$

적합한 상황: 그래프를 그릴 때((0, b)에서 시작해 오른쪽으로 1씩 이동하며 m만큼 올라감), 기울기와 y절편을 한눈에 확인할 때.

점-기울기형: y − y₁ = m(x − x₁)

주어진 점의 좌표를 그대로 대입하는 형식으로, b를 먼저 구하지 않아도 됩니다.

적합한 상황: 한 점과 기울기를 알 때, 또는 다른 형식으로 변환하는 중간 단계.

일반형: Ax + By = C

모든 항을 한쪽으로 모은 형식으로, 좌표가 정수이면 A, B, C도 정수입니다. 관례: A ≥ 0.

적합한 상황: 연립방정식을 가감법으로 풀 때, x절편·y절편을 동시에 구할 때.

특수한 경우

수직선

x₁ = x₂이면 두 점은 수직선 위에 있습니다. 분모 x₂ − x₁ = 0이므로 기울기는 정의되지 않습니다. 방정식은 x = x₁이 됩니다.

수평선

y₁ = y₂이면 직선은 수평입니다. 기울기는 0이고 y절편은 y₁이며, 세 형식 모두 y = y₁으로 단순화됩니다.

형식 간 변환

일반형 계수를 정수로 만드는 방법

기울기 m = p/q (기약분수)일 때 y = mx + b 의 양변에 q를 곱합니다:

$qy = px + qb \implies px - qy = -qb$

A = p, B = −q, C = −qb가 모두 정수입니다. 입력 좌표가 정수이면 이 계산기가 자동으로 이 과정을 처리합니다.