최종 업데이트: 2026-05-19

등차수열의 정의

등차수열은 이웃하는 두 항의 차가 항상 일정한 수열입니다. 이 일정한 차를 공차(d)라 하고, 첫 항을 첫째 항(a₁)이라 합니다. 수열은 다음과 같이 나열됩니다.

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

예를 들어 2, 5, 8, 11, …은 첫째 항 2, 공차 3인 등차수열입니다. 이 계산기는 n번째 항(aₙ), 처음 n항의 합(Sₙ), 평균을 한 번에 구해 줍니다.

n번째 항의 공식

등차수열의 n번째 항은 다음과 같이 구합니다.

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

원리: a₁에서 aₙ까지 가려면 정확히 n−1번 공차를 더해야 합니다.

계산 예. 첫째 항 3, 공차 4인 수열(3, 7, 11, 15, …)의 20번째 항은 다음과 같습니다.

$$a_{20} = 3 + (20 - 1) \times 4 = 3 + 76 = 79$$

합의 공식과 가우스의 방법

처음 n항의 합은 다음 공식으로 구합니다.

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

이 공식의 배경에는 유명한 일화가 있습니다. 어린 가우스가 1부터 100까지의 합을 구하는 문제를 받았을 때, 첫 항과 끝 항을 짝 지으면 항상 같은 합이 나온다는 것을 발견했습니다.

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

이런 쌍이 50개이고 각 쌍의 합이 101이므로 전체 합은 50 × 101 = 5,050입니다. 일반적으로는 n/2개의 쌍이 a₁ + aₙ씩 더해지므로 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2가 됩니다.

aₙ을 먼저 구하지 않아도 되는 형태로 바꾸면:

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

평균

처음 n항의 평균은 첫째 항과 n번째 항의 평균과 같습니다.

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

등차수열의 각 항이 균등하게 분포되어 있기 때문에 중간값이 곧 평균이 됩니다.

일차함수와의 관계

등차수열은 이산형 일차함수입니다. 항 번호 n을 x축, 항의 값 aₙ을 y축에 나타내면 모든 점이 직선 위에 놓입니다.

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

공차 d는 기울기에 해당하고 (a₁ − d)는 y절편에 해당합니다. 이 연관성은 중학교 수학에서 수열과 일차함수를 통합적으로 이해하는 데 활용됩니다.

특수한 경우

조건	결과
d = 0	상수 수열; 모든 항이 a₁; Sₙ = n·a₁
d < 0	단조 감소 수열
d가 분수	유효; 등간격 소수 수열
n = 1	aₙ = a₁; S₁ = a₁; 평균 = a₁

실생활 계산 예

첫 달 월급이 200만 원이고 매달 5만 원씩 오르는 경우(a₁ = 200, d = 5, 단위: 만 원), 12개월째 월급과 1년 총 급여는 다음과 같이 계산됩니다.

• a₁ = 200만 원, d = 5만 원, n = 12
• a₁₂ = 200 + 11 × 5 = 200 + 55 = 255만 원
• S₁₂ = 12 × (200 + 255) ÷ 2 = 12 × 227.5 = 2,730만 원
• 월 평균 급여: 227.5만 원

자주 묻는 질문 (FAQ)

등차수열의 n번째 항은 어떻게 구하나요?

공식 aₙ = a₁ + (n − 1)d를 사용합니다. a₁은 첫째 항, d는 공차, n은 구하려는 항의 번호입니다. 예를 들어 첫째 항이 2, 공차가 3인 수열(2, 5, 8, 11, …)에서 10번째 항은 2 + 9×3 = 29입니다.

등차수열의 합 공식은 무엇인가요?

처음 n항의 합은 Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2입니다. 이 공식은 가우스의 짝 맞추기 아이디어에서 나왔습니다. 첫 항과 끝 항을 더하면 항상 a₁ + aₙ이 되고, 이런 쌍이 n/2개 존재합니다. aₙ을 먼저 구하지 않아도 Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d)/2를 쓸 수 있습니다.

등차수열과 등비수열의 차이는 무엇인가요?

등차수열은 각 항에 일정한 값(공차 d)을 더해 다음 항을 얻습니다(선형 증가). 등비수열은 일정한 비율(공비 r)을 곱합니다(지수적 증가). 예: 2, 5, 8, 11은 등차수열(d = 3), 2, 6, 18, 54는 등비수열(r = 3)입니다.

공차가 음수나 분수여도 되나요?

네, d는 임의의 실수가 될 수 있습니다. 음수 공차는 감소하는 수열을 만들고(예: 10, 7, 4, 1, −2, …), 소수나 분수 공차도 유효합니다(예: d = 0.5이면 1, 1.5, 2, 2.5, …). d = 0이면 모든 항이 a₁과 같고 Sₙ = n·a₁이 됩니다.