최종 업데이트: 2026-06-06

각뿔대의 정의

각뿔대는 각뿔을 밑면과 평행한 평면으로 잘라 꼭짓점 부분을 제거한 입체도형입니다. 넓이 A₁인 큰 다각형 밑면(아랫면)과 넓이 A₂인 작은 다각형 윗면, 두 면을 잇는 사다리꼴 옆면, 그리고 두 밑면 사이의 수직 거리인 높이 h로 정의됩니다.

두 밑면은 정사각형, 직사각형, 삼각형, 육각형 등 닮음인 다각형이면 어떤 형태든 허용됩니다. 원형 밑면을 갖는 원뿔대와 달리, 각뿔대의 밑면 형태에는 제한이 없습니다.

공식

각뿔대의 부피는 다음 공식으로 구합니다.

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

A₁은 밑면(아랫면) 넓이, A₂는 윗면 넓이, h는 두 밑면 사이의 수직 높이입니다.

세 항 A₁, A₂, √(A₁A₂)는 각각 밑면 넓이, 윗면 넓이, 두 넓이의 기하 평균을 나타내며, 모두 h/3의 가중치를 가집니다.

공식 유도

완전한 각뿔의 꼭짓점에서 밑면까지의 높이를 H, 밑면 넓이를 A₁이라 합니다. 윗부분에서 잘라낸 작은 각뿔의 높이는 H − h, 밑면 넓이는 A₂입니다. 닮음 입체에서 넓이는 선형 비의 제곱에 비례하므로:

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

이 관계로 H를 소거하고 두 각뿔의 부피 차를 정리하면:

$V = \frac{A_1 H}{3} - \frac{A_2 (H - h)}{3}$

대수적으로 H를 소거하여 정리하면 위의 세 항 형태로 귀결됩니다. √(A₁A₂)는 각뿔을 연장했을 때 중간 높이에서의 단면 넓이에 해당합니다.

특수한 경우

두 가지 극단적인 경우는 계산 결과를 검증하는 기준이 됩니다.

완전한 각뿔 (A₂ = 0): 공식이 V = A₁·h/3으로 단순화되며, 이는 표준 각뿔 부피 공식과 동일합니다. 기하 평균 항은 사라집니다.

각기둥 (A₁ = A₂ = A): 공식이 V = (h/3)(A + A + A) = A·h가 되어 표준 각기둥 부피 공식과 일치합니다. 윗면과 아랫면이 같은 각뿔대는 각기둥이라는 사실을 확인할 수 있습니다.

계산 예시

아랫면이 30 cm × 30 cm인 정사각형, 윗면이 20 cm × 20 cm인 정사각형, 높이 25 cm인 콘크리트 화분 받침대의 부피를 구합니다.

• A₁ = 30 × 30 = 900 cm²
• A₂ = 20 × 20 = 400 cm²
• √(A₁·A₂) = √(900 × 400) = √360,000 = 600 cm²
• V = (25/3)(900 + 400 + 600) = (25/3) × 1,900 ≈ 15,833 cm³ ≈ 15.8 L

이 화분 받침대의 용량은 약 15.8 L로, 일반 15 L 마대 규격과 거의 같습니다.

넓이를 직접 입력하는 방식

이 계산기는 밑면의 변 길이 대신 넓이를 직접 입력받습니다. 이 방식은 정사각형·직사각형·삼각형·육각형 등 다양한 밑면 형태에 동일한 공식을 그대로 적용할 수 있어 범용성이 높습니다. 변의 길이 s인 정사각형 밑면이라면 A = s²를 입력하고, 변의 길이 a인 정육각형 밑면이라면 A = (3√3/2)a²를 계산해 입력합니다.

관련 계산기

• 사각뿔 계산기 — 완전한 각뿔의 부피와 겉넓이
• 원뿔대 계산기 (잘린 원뿔)를 — 잘린 원뿔(원뿔대)의 부피와 겉넓이
• 직육면체 계산기 — 직육면체의 부피와 겉넓이 (A₁ = A₂인 특수한 경우)