최종 업데이트: 2026-05-19

절댓값 방정식의 정의

$|ax + b| = c$ 형태의 절댓값 방정식은 수직선에서의 거리 개념을 방정식으로 표현한 것입니다. 선형 변환 $ax + b$를 적용한 결과가 원점에서 정확히 $c$만큼 떨어진 x 값을 구합니다. 이 계산기는 두 근·한 근·실근 없음의 세 가지 경우를 모두 처리합니다.

풀이 원리

절댓값의 핵심 성질은 $|expression| = c$이면 expression이 $c$ 또는 $-c$ 중 하나라는 것입니다. 두 값 모두 원점에서의 거리가 $c$로 동일하기 때문입니다. 이에 따라 절댓값 방정식 하나를 두 일차방정식으로 분리할 수 있습니다.

$$ax + b = c \quad \text{또는} \quad ax + b = -c$$

$a \neq 0$ 조건에서 각각을 $x$에 대해 풀면:

$$x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}$$

세 가지 경우

경우 1: c > 0 — 두 근

$c$가 양수이면 위 두 방정식에서 서로 다른 $x$ 값이 나옵니다. 두 근이 모두 원래 방정식을 만족합니다.

풀이 예시: $|2x - 3| = 7$을 풀어보겠습니다.

계수 확인: $a = 2$, $b = -3$, $c = 7$.

$$x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

검산: $|2 \times 5 - 3| = |7| = 7$ ✓, $|2 \times (-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

경우 2: c = 0 — 한 근

$c = 0$이면 두 방정식 $ax + b = 0$이 일치하여 근이 하나가 됩니다.

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}$$

예시: $|2x - 4| = 0$ $\Rightarrow$ $x = 4 \div 2 = 2$.

경우 3: c < 0 — 실근 없음

절댓값은 항상 $0$ 이상이므로 $|ax + b| \geq 0$이 모든 실수 $x$에서 성립합니다. $c$가 음수이면 비음수인 양이 음수와 같아지는 경우는 없으므로 방정식은 실근을 갖지 않습니다.

예시: $|2x - 3| = -5$는 실근이 없습니다.

거리 해석 — 왜 이 공식이 성립하는가

수직선에서 $|u|$는 점 $u$와 원점 사이의 거리입니다. $u = ax + b$로 놓으면:

$$|ax + b| = c$$

는 "선형 함수 $ax + b$의 출력이 원점에서 정확히 $c$ 떨어진 위치에 놓이는 $x$는 무엇인가?"를 묻는 거리 방정식이 됩니다. 거리는 방향에 관계없이 양쪽으로 대칭이므로 $+c$와 $-c$ 두 위치가 생기고, 최대 두 개의 $x$ 값이 존재합니다.

이 기하학적 해석은 $c < 0$일 때 실근이 없는 이유도 자연스럽게 설명합니다. 거리는 음수가 될 수 없으므로 해당하는 위치 자체가 존재하지 않습니다.

a = 0인 경우

$a = 0$이면 방정식은 $|b| = c$가 되어 $x$를 포함하지 않게 됩니다. 이는 $x$에 대한 절댓값 방정식이 아니라 단순한 산술 명제에 불과합니다. 계산기는 $a = 0$을 잘못된 입력으로 처리하고 오류를 표시합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

절댓값 방정식에서 왜 해가 두 개 나오나요?

|ax + b| = c는 ax + b가 c이거나 −c라는 의미입니다. 두 값 모두 절댓값이 c로 같기 때문입니다. 이를 ax + b = c와 ax + b = −c 두 일차방정식으로 분리하면 각각 하나씩 해를 구할 수 있습니다. c > 0이면 두 방정식의 해가 서로 다르고, c = 0이면 두 방정식이 일치하여 해가 하나가 됩니다.

우변 c가 음수이면 어떻게 되나요?

절댓값은 항상 0 이상이므로 |ax + b|는 음수가 될 수 없습니다. c < 0이면 비음수인 양이 음수와 같아지는 값은 존재하지 않으므로 방정식은 실근을 갖지 않습니다.

절댓값 |x|의 기하학적 의미는 무엇인가요?

수직선에서 |x|는 x와 원점 사이의 거리를 나타냅니다. 마찬가지로 |ax + b|는 ax + b와 원점 사이의 거리입니다. |ax + b| = c는 "ax + b의 값이 원점에서 정확히 c만큼 떨어진 위치는 어디인가?"를 묻는 거리 방정식입니다. 거리는 양방향으로 대칭이므로 +c와 −c 두 지점이 생기고, 이에 대응하는 x 값이 최대 두 개 존재합니다.

절댓값 방정식과 절댓값 부등식은 어떻게 다른가요?

방정식 |ax + b| = c는 식의 값이 정확히 c가 되는 특정 x 값(유한 개)을 구합니다. 부등식 |ax + b| < c 또는 |ax + b| > c는 식의 값이 c보다 작거나 큰 x의 범위, 즉 구간이나 두 반직선의 합집합을 구합니다. 방정식은 부등식의 경계에 해당하며, 부등식이 구간을 결정하는 출발점이 됩니다.