최종 업데이트: 2026-07-01

지수 증가와 감소

어떤 양의 변화 속도가 그 순간의 크기에 비례할 때, 그 양은 지수적으로 증가하거나 감소합니다. 클수록 더 빠르게 변한다는 뜻입니다. 이 패턴은 개체 수, 복리 잔액, 방사성 물질, 약물 농도, 전염병의 초기 확산을 설명합니다. 이들 모두의 바탕이 되는 공통 모델은 다음과 같습니다.

N = N₀ (1 ± r)^t

여기서 N₀은 초기값, r은 주기당 비율, t는 경과 시간, N은 그 시간 후의 양입니다. 더하기 부호는 증가, 빼기 부호는 감소를 나타냅니다.

증가와 감소

증가와 감소의 유일한 차이는 비율의 부호입니다. 증가에서는 배수 (1 + r)가 1보다 커서 매 주기마다 양이 확대되고 곡선이 점점 가파르게 상승합니다. 감소에서는 배수 (1 − r)가 0과 1 사이여서 매 주기마다 양이 축소되고 곡선이 0을 향해(완전히 도달하지는 않으면서) 하강합니다.

이산과 연속

비율을 적용하는 방법은 흔히 두 가지가 있습니다.

이산 모델 N₀ (1 ± r)^t은 한 주기마다 비율을 한 번 적용합니다. 단계적으로 변하는 상황에 맞습니다. 연 1회 지급되는 이자, 세대마다 집계하는 개체 수, 매월 갱신되는 잔액 등입니다.

연속 모델 N₀ · e^(kt)은 매 순간 비율을 적용하며, 여기서 k는 연속 비율, e ≈ 2.71828입니다. 항상 매끄럽게 변하는 과정에 맞습니다. 방사성 붕괴, 연속 복리, 1차 화학 반응 등입니다. 동일한 명목 비율에서는 작은 증가분이 즉시 복리로 작용하기 때문에 연속 모델이 조금 더 빠르게 증가합니다.

배가 시간과 반감기

비율이 일정한 백분율이므로, 증가하는 양은 현재 크기와 관계없이 두 배가 되는 데 같은 시간이 걸리고, 감소하는 양은 절반이 되는 데 같은 시간이 걸립니다. 이 상수가 배가 시간과 반감기입니다.

이산 모델의 경우:

• 배가 시간 = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• 반감기 = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

연속 모델에서는 둘 다 ln 2 ÷ k로 줄어듭니다. 비율의 크기가 어느 방향이든 같기 때문입니다.

편리한 어림법으로 70의 법칙이 있습니다. 70을 백분율 비율로 나누면 배가 시간을 추정할 수 있습니다. 연 5%라면 두 배가 되는 데 약 70 ÷ 5 = 14년이 걸리며, 정확한 값 14.21년에 가깝습니다.

풀이 예시

문제: 인구 1,000명인 마을이 연 5%로 증가합니다. 10년 후 인구는 얼마이며, 마을이 두 배가 되는 데 얼마나 걸립니까?

이산 증가 모델을 사용합니다.

N = 1000 × (1 + 0.05)^10 = 1000 × 1.62889 ≈ 1,629명

배가 시간 = ln 2 ÷ ln(1.05) ≈ 0.6931 ÷ 0.04879 ≈ 14.21년

따라서 10년 후 인구는 약 1,629명이며, 이 비율로는 14년 남짓 후에 2,000명에 이릅니다.

감소 예시

문제: 200 mg의 약물이 시간당 0.231의 비율로 연속적으로 감소합니다. 6시간 후 남는 양과 반감기는 얼마입니까?

N = 200 × e^(−0.231 × 6) = 200 × e^(−1.386) ≈ 50 mg

반감기 = ln 2 ÷ 0.231 ≈ 3시간

6시간 후의 50 mg은 초기 용량의 정확히 4분의 1입니다. 6시간은 반감기 두 번에 해당하므로, 양이 두 번 절반이 되었다고 보면 들어맞습니다.

복리와의 관계

지수 증가는 복리 계산의 수학적 엔진입니다. r을 주기 이자율로 둔 이산 모델은 복리 공식과 동일하며, 연속 모델은 연속 복리에 해당합니다. 이 계산기는 생물학, 물리학, 금융에 두루 적용되도록 표현을 일반적으로 유지합니다.