최종 업데이트: 2026-06-04

거듭제곱의 정의

거듭제곱은 반복 곱셈을 간결하게 나타내는 표현입니다. $b^n$은 밑수 $b$를 $n$번 곱한다는 뜻입니다.

$$b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n\text{번}}$$

$b$를 밑수, $n$을 지수라고 합니다. 예를 들어 $2^{10} = 1024$는 2를 10번 곱한 결과입니다.

지수 법칙

지수 연산의 여섯 가지 기본 법칙은 반복 곱셈의 정의에서 직접 유도됩니다.

곱셈 법칙 — 같은 밑수의 거듭제곱을 곱할 때 지수를 더합니다. $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

나눗셈 법칙 — 같은 밑수의 거듭제곱을 나눌 때 지수를 뺍니다. $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \quad (b \neq 0)$

거듭제곱의 거듭제곱 — 지수끼리 곱합니다. $(b^m)^n = b^{mn}$

곱의 거듭제곱 — 지수를 각 인수에 분배합니다. $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

0 지수 — 0이 아닌 어떤 밑수라도 0제곱은 1입니다. $b^0 = 1 \quad (b \neq 0)$

음의 지수 — 음의 지수는 역수를 나타냅니다. $b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (b \neq 0)$

음의 지수

음의 지수는 역수를 취하라는 의미입니다. 나눗셈 법칙에서 $b^0 / b^n = 1 / b^n = b^{-n}$이 자연스럽게 도출됩니다.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$

음의 지수는 과학적 표기법에서 매우 작은 수를 나타낼 때($10^{-9}$는 나노미터 단위)와 물리량의 단위 표기($\text{m s}^{-1}$는 속도)에서 자주 등장합니다.

분수 지수와 거듭제곱근

분수 지수는 거듭제곱근을 나타냅니다.

$b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

자주 쓰이는 경우를 정리하면 다음과 같습니다.

식	거듭제곱근 표현	계산 예
$b^{1/2}$	$\sqrt{b}$	$9^{1/2} = 3$
$b^{1/3}$	$\sqrt[3]{b}$	$8^{1/3} = 2$
$b^{2/3}$	$\sqrt[3]{b^2}$	$27^{2/3} = 9$
$b^{3/4}$	$\sqrt[4]{b^3}$	$16^{3/4} = 8$

분수 지수에서 실수 결과를 얻으려면 밑수가 비음수여야 합니다. 음수 밑수의 경우 분모가 홀수인 지수이면 실수 결과가 가능하지만, 일반적으로는 복소수 영역으로 넘어갑니다.

역수

$b^n$의 역수는 $b^{-n} = 1/b^n$입니다. 두 값을 곱하면 $b^n \cdot b^{-n} = b^0 = 1$이 됩니다. $b = 0$이고 $n > 0$이면 $b^n = 0$이므로 역수는 정의되지 않습니다.

0⁰의 관례

$b = 0$이고 $n = 0$일 때 $0^0$는 해석학에서 부정형입니다($0^x \to 0$과 $x^0 \to 1$이 서로 다른 극한을 가집니다). 그러나 이산수학, 조합론, 컴퓨터 과학에서는 $0^0 = \mathbf{1}$로 정의하는 것이 보편적입니다. 이 관례를 따르면 이항 정리와 멱급수 전개가 경계 조건에서도 일관성을 유지합니다. 이 계산기는 $0^0 = 1$을 사용합니다.

계산 예시

입력: 밑수 $b = 3$, 지수 $n = 4$

$b^n = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

역수:

$b^{-n} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0.012346$

곱셈 법칙으로 검증:

$3^4 \cdot 3^{-4} = 3^{4 + (-4)} = 3^0 = 1 \checkmark$

활용 분야

분야	예시
복리 계산	$A = P(1 + r)^t$ — 원금 $P$가 연이율 $r$로 $t$년 후 $A$로 증가
컴퓨터 저장 용량	$2^{10} = 1024$ (1킬로바이트); $2^{30} \approx 10$억 (1기가바이트)
과학적 표기법	$6.022 \times 10^{23}$(아보가드로 수); $1.6 \times 10^{-19}$ C(전자 전하)
신호 처리	전력은 $10^{\text{dB}/10}$, 진폭은 $10^{\text{dB}/20}$ 비율로 변화
방사성 붕괴	$N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/t_{1/2}}$ — 반감기 $t_{1/2}$ 후 잔량 계산

자주 묻는 질문 (FAQ)

0의 0제곱은 얼마입니까?

0⁰은 수학과 컴퓨터 과학의 대부분 분야에서 관례적으로 1로 정의합니다. 그 근거는 빈 곱(0개의 인수를 곱하는 것)이 곱셈의 항등원인 1과 같다는 데 있습니다. 이 정의를 채택하면 이항 정리, 테일러 급수와 같은 중요한 공식이 경계 조건에서도 일관되게 성립합니다. 해석학의 일부 분야에서는 0⁰를 부정형으로 취급하지만, 일반 산술과 조합론에서는 1로 인정합니다.

음의 지수는 무엇을 의미합니까?

음의 지수는 역수를 나타냅니다. 정의에 의해 b^(−n) = 1 / b^n입니다. 예를 들어 2^(−3) = 1 / 2³ = 1/8 = 0.125입니다. 음의 지수는 단위 변환(km s^(−1)은 속도의 단위)과 매우 작은 수의 과학적 표기(1 × 10^(−9) = 1나노미터)에서 자연스럽게 나타납니다. 지수가 음수일 때 밑수는 0이 될 수 없는데, 0으로 나누는 것은 정의되지 않기 때문입니다.

분수 지수는 무엇을 의미합니까?

분수 지수는 거듭제곱근을 나타냅니다. b^(1/n)은 b의 n제곱근이며, b^(m/n) = (b^m)^(1/n)입니다. 예를 들어 8^(1/3) = ∛8 = 2이고, 16^(3/4) = (16^(1/4))³ = 2³ = 8입니다. 분수 지수는 정수 지수의 규칙을 자연스럽게 확장하며, 대수학, 미적분학, 물리학에서 널리 활용됩니다. 분수 지수에서는 일반적으로 밑수가 음수이면 복소수 결과가 나오므로, 분모가 홀수인 유리수 지수가 아닌 한 밑수는 비음수여야 합니다.

같은 밑수의 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해지는 이유는 무엇입니까?

b^m × b^n을 계산할 때, b를 m번 곱한 것과 n번 더 곱한 것을 합치면 b를 m + n번 곱한 것이 됩니다. 따라서 b^(m+n)입니다. 예를 들어 2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2⁷ = 128입니다. 이것이 지수 법칙의 기본인 곱셈 법칙입니다. 이에 대응하는 나눗셈 법칙은 b^m / b^n = b^(m−n)이며, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙은 (b^m)^n = b^(m×n)입니다.