최종 업데이트: 2026-05-19

코사인 법칙

코사인 법칙은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인을 연결하는 공식입니다. 변 c에 대한 대각 C를 가진 삼각형에 대해 다음과 같이 표현됩니다.

c² = a² + b² − 2ab cos C

이 공식 하나로 삼각형 풀이의 두 가지 전형적인 상황을 처리할 수 있습니다.

• SAS(변-각-변): 두 변과 그 끼인각을 알면 세 번째 변을 구합니다.

• SSS(변-변-변): 세 변 모두를 알면 공식을 세 번 변형하여 세 각도를 모두 구합니다.

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

피타고라스 정리와의 관계

피타고라스 정리 계산기 (c² = a² + b²)은 코사인 법칙의 특수한 경우입니다. 각 C가 정확히 90°이면 cos 90° = 0이 되어 '2ab cos C' 항이 사라지고 c² = a² + b²가 됩니다.

다른 각도의 경우:

• C < 90°(예각): cos C > 0이므로 뺄셈 항이 c를 짧게 만듭니다.
• C > 90°(둔각): cos C < 0이므로 항이 더해져 c가 길어집니다.

이 직관은 한 벡터가 다른 벡터에 얼마나 투영되는지를 측정하는 내적의 정의에서 직접 도출됩니다.

풀이 예제: SAS

측량 현장에서 삼각형 토지의 두 경계가 83 m와 112 m이고 그 사이 각도가 54°입니다. 세 번째 경계의 길이는?

• a = 83, b = 112, C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6,889 + 12,544 − 18,592 × 0.5878
• c² ≈ 8,502
• c ≈ 92.2 m

풀이 예제: SSS

삼각형 모양의 정원 변이 5 m, 7 m, 6 m입니다. 각 꼭짓점의 각도는?

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44.4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78.5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57.1°

확인: 44.4° + 78.5° + 57.1° = 180°. ✓

코사인 법칙 vs. 사인 법칙

주어진 정보	사용할 공식
두 변 + 끼인각(SAS)	코사인 법칙
세 변 모두(SSS)	코사인 법칙
두 각 + 한 변(AAS / ASA)	사인 법칙
두 변 + 비끼인각(SSA)	사인 법칙(두 해 주의)

사인 법칙은 변-대각 쌍이 있을 때 계산이 간단합니다. 코사인 법칙은 모호한 경우가 없어 SAS와 SSS에서 항상 유일한 해를 제공합니다.

삼각 부등식

세 변이 삼각형을 이루려면 각 변이 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다. 이 조건을 만족하지 않으면(예: 변 1, 2, 10) arccos의 인자가 [−1, 1] 범위를 벗어나 계산이 불가능합니다. 계산기는 오류 메시지를 표시합니다.

빠른 확인: 변을 오름차순으로 정렬하고 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 큰지 확인합니다.

계산기 사용 방법

SAS 모드 — 'SAS — 변 c 구하기'를 선택하고 두 변 a, b와 끼인각 C(도 단위)를 입력합니다. 계산기가 변 c를 반환합니다.

SSS 모드 — 'SSS — 각도 구하기'를 선택하고 세 변 a, b, c를 입력합니다. 세 각도 A, B, C가 도 단위로 표시됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

코사인 법칙과 피타고라스 정리는 어떤 관계인가요?

코사인 법칙 c² = a² + b² − 2ab cos C는 피타고라스 정리를 일반 삼각형으로 확장한 것입니다. C = 90°이면 cos 90° = 0이 되어 c² = a² + b²으로 돌아갑니다. 예각(C < 90°)이면 2ab cos C가 양수라 c가 짧아지고, 둔각(C > 90°)이면 cos C가 음수라 c가 더 길어집니다.

코사인 법칙과 사인 법칙 중 어느 것을 써야 하나요?

SAS(두 변과 끼인각) 또는 SSS(세 변 모두 알 때)는 코사인 법칙을 사용합니다. 사인 법칙은 변과 그 대각을 한 쌍으로 알고 있을 때 계산이 간편하지만, SSA(두 변과 비끼인각)에서는 해가 두 개 나오는 모호함이 있습니다. 코사인 법칙은 항상 유일한 해를 제공합니다.

SAS 모드에서 무엇을 구할 수 있나요?

두 변 a·b와 그 끼인각 C로 나머지 변 c = √(a² + b² − 2ab cos C)를 구합니다. 예: a = 5, b = 7, C = 60° → c = √39 ≈ 6.245. 세 변을 모두 알면 SSS 모드로 전환해 나머지 각도도 구할 수 있습니다.

입력한 세 변이 삼각형을 이루지 못하면 어떻게 되나요?

삼각 부등식에 따라 어떤 변도 나머지 두 변의 합보다 작아야 합니다. 조건을 만족하지 않으면(예: 변 1, 2, 10) arccos의 인자가 [−1, 1] 범위를 벗어나 계산이 불가합니다. 오류 메시지가 표시됩니다. 빠른 확인: 변을 오름차순으로 정렬하고 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 큰지 확인하세요.