최종 업데이트: 2026-05-13

피타고라스 정리

피타고라스 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다고 말합니다.

$a^2 + b^2 = c^2$

이는 수학에서 가장 오래된 결과 중 하나입니다. 기원전 약 1800년경의 바빌로니아 점토판에는 이미 이 방정식을 만족하는 정수 집합인 피타고라스 수가 기록되어 있었으며, 이는 피타고라스가 태어나기 수백 년 전의 일입니다. 피타고라스와 그 제자들이 기여한 것은 일반적인 증명이었습니다. 특정 정수 예시만이 아니라 모든 직각삼각형에 이 관계가 성립한다는 것을 보인 것입니다.

이 계산기 사용법

직각삼각형의 임의의 두 변을 입력하면 나머지 한 변을 계산합니다. 세 필드 모두 편집 가능합니다. 빗변과 한 변을 고정해 나머지 변을 구하거나, 두 짧은 변을 입력해 빗변을 구할 수 있습니다.

• a와 b를 알 때 → c(빗변) 구하기: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• b와 c를 알 때 → a 구하기: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• a와 c를 알 때 → b 구하기: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

모든 길이 단위를 지원하며 미터법과 야드파운드법을 자유롭게 조합할 수 있습니다.

공식이 성립하는 이유

가장 직관적인 증명은 직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 하나씩 그리는 방법입니다. 빗변 위의 정사각형 넓이는 나머지 두 변 위의 정사각형 넓이의 합과 같습니다. 조각들을 재배열하면 큰 정사각형을 정확히 덮을 수 있어 이를 확인할 수 있습니다. 이 '분할 증명'은 대수학이 필요 없이 넓이 계산만으로 이루어지기 때문에, 역사 전반에 걸쳐 여러 문화권에서 독립적으로 재발견되었습니다.

대수적 표현은 좌표기하학의 거리 공식에서 도출됩니다. 직각을 원점에 놓고 두 짧은 변을 각 좌표축 방향으로 배치하면, 빗변($(a, 0)$에서 $(0, b)$까지의 선분)의 길이는 유클리드 거리의 정의에 따라 $\sqrt{a^2 + b^2}$가 됩니다.

피타고라스 수

피타고라스 수는 $a^2 + b^2 = c^2$를 만족하는 정수 해입니다. 대표적인 것들을 정리하면 다음과 같습니다.

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

피타고라스 수의 양의 정수 배도 피타고라스 수입니다. 예를 들어 (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25)는 모두 (3, 4, 5) 계열에서 파생된 것입니다.

공약수가 없는 '원시' 피타고라스 수를 모두 생성하는 일반 공식은 두 정수 $m > n > 0$을 사용합니다.

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

$m = 2, n = 1$이면 $a = 3, b = 4, c = 5$ — 가장 유명한 조합이 됩니다.

실생활 응용

건축과 목공. 3-4-5 법칙은 각도기 없이 직각을 확인하는 가장 신뢰할 수 있는 도구입니다. 한쪽 벽을 따라 3단위, 인접한 벽을 따라 4단위를 재고 끝점을 이으면 대각선이 정확히 5단위가 될 때 직각입니다.

항법. 평면 지도 위의 두 점 사이의 직선 거리는 남북 방향 차이와 동서 방향 차이를 짧은 변으로 하는 직각삼각형의 빗변입니다. GPS 수신기와 지도 소프트웨어는 이 계산을 끊임없이 수행합니다.

물리학과 공학. 2차원 벡터의 크기는 피타고라스 정리로 계산합니다. 수평 속도 $v_x$와 수직 속도 $v_y$를 가진 물체의 속력은 $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$입니다.

컴퓨터 그래픽. 픽셀 간 거리, 충돌 감지, 렌더링 계산 모두 이 정리에 의존합니다. 3차원 확장식 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$은 그 직접적인 일반화입니다.

직각삼각형에만 적용됩니다

피타고라스 정리는 한 각이 정확히 90°일 때에만 성립합니다. 다른 삼각형에는 코사인 법칙을 사용해야 합니다.

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

여기서 $C$는 변 $c$의 대각입니다. $C = 90°$이면 $\cos(90°) = 0$이 되어 코사인 법칙이 정확히 피타고라스 정리로 환원됩니다. 이는 피타고라스 정리가 더 일반적인 결과의 특수 경우임을 확인해 줍니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

피타고라스 수란 무엇입니까?

피타고라스 수는 a² + b² = c²를 만족하는 세 양의 정수의 집합입니다. 가장 유명한 예는 (3, 4, 5)로, 9 + 16 = 25입니다. 그 외에도 (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) 등이 잘 알려져 있습니다. 피타고라스 수의 정수 배도 피타고라스 수가 됩니다. 예를 들어 (6, 8, 10)이 이에 해당합니다.

피타고라스 정리는 실생활에서 어떻게 활용됩니까?

건설(직각 확인), 항법(직선 거리 계산), 물리학(벡터 크기), 컴퓨터 그래픽(2D·3D 거리 계산) 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 목수들은 3-4-5 규칙을 사용해 직각을 잡습니다.

피타고라스 정리는 모든 삼각형에 적용됩니까?

아닙니다. 피타고라스 정리는 직각삼각형(90° 각도를 가진 삼각형)에만 적용됩니다. 그 외의 삼각형에는 코사인 법칙을 사용합니다: c² = a² + b² − 2ab cos(C), 여기서 C는 변 c의 대각입니다.