최종 업데이트: 2026-07-02

쌍곡선의 방정식

쌍곡선은 두 고정점(초점)까지의 거리 차가 일정한 모든 점의 집합입니다. 중심이 $(h, k)$인 가로형 쌍곡선의 표준형은 다음과 같습니다.

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

쌍곡선을 타원과 구분 짓는 것이 바로 이 마이너스 부호입니다. 이 부호 때문에 좌우로 벌어지는 서로 떨어진 두 가지가 생기며, 각 가지는 점근선이라 부르는 한 쌍의 직선을 향해 뻗어 나갑니다. 이 계산기는 반실축(주축 반지름) $a$, 반허축(켤레축 반지름) $b$, 중심 $(h, k)$로부터 초점 거리, 꼭짓점, 초점, 이심률, 점근선 기울기를 구합니다.

꼭짓점, 초점, 초점 거리

꼭짓점은 두 가지가 서로 가장 가까워지는 두 점입니다. 주축 위, 중심에서 거리 $a$의 위치에 있습니다.

$V = (h \pm a,\ k)$

초점은 더 바깥쪽, 중심에서 거리 $c$의 위치에 있으며

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

$b^2 > 0$이므로 항상 $c > a$입니다. 이는 타원의 관계식 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$와 반대로, 쌍곡선에서는 초점이 꼭짓점의 안쪽이 아니라 바깥쪽에 놓입니다.

점근선과 이심률

중심에서 멀어지면 각 가지는 중심을 지나고 기울기가 $\pm b/a$인 두 직선 중 하나에 가까워집니다.

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

손으로 빠르게 그리려면 중심 $(h, k)$를 중심으로 폭 $2a$, 높이 $2b$의 기준 직사각형을 그린 뒤 그 대각선을 연장하면 됩니다. 그 연장선이 점근선입니다.

이심률은 가지가 얼마나 벌어지는지를 나타냅니다.

$e = \frac{c}{a}$

$c > a$이므로 쌍곡선은 항상 $e > 1$입니다. (타원은 $0 \le e < 1$, 포물선은 정확히 $e = 1$입니다.)

풀이 예제

문제: 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$을 분석하시오.

1단계 — 반축 읽기: $a^2 = 9$, $b^2 = 16$이므로 $a = 3$, $b = 4$. 중심은 $(0, 0)$.

2단계 — 꼭짓점: $(\pm a, 0) = (3, 0)$ 및 $(-3, 0)$.

3단계 — 초점 거리:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

따라서 초점은 $(5, 0)$과 $(-5, 0)$.

4단계 — 이심률:

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1.667$

5단계 — 점근선: 기울기 $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$, 즉 $y = \pm \tfrac{4}{3}x$.

따라서 이 쌍곡선은 **꼭짓점 $(\pm 3, 0)$, 초점 $(\pm 5, 0)$, 이심률 $5/3$, 점근선 $y = \pm\tfrac{4}{3}x$**를 가집니다.

반통경(semi-latus rectum)

유용한 확인점은 초점 바로 위에서의 가지 높이입니다. 방정식에 $x = c$를 대입하면 $y = \pm b^2/a$가 되며, 이를 반통경이라 합니다. 위 예제에서는 $16/3 \approx 5.33$으로, 그래프는 $(5, \pm 16/3)$을 지납니다. 이 때문에 가지가 초점에 이를 무렵 이미 상당히 높아져 있습니다.

주축과 켤레축의 차이

**주축(횡축)**은 두 꼭짓점을 잇고 초점을 지나며, 그 반길이가 $a$입니다. 켤레축은 이에 수직이며 중심을 지나고, 그 반길이가 $b$입니다. 타원과 달리 $a > b$일 필요가 없습니다. $a$와 $b$ 중 어느 쪽이 크든 가지는 주축을 가로지릅니다. $a = b$이면 점근선은 서로 수직인 직선 $y = \pm(x - h) + k$가 되고, 이 쌍곡선을 직각쌍곡선(등변쌍곡선)이라 하며 이심률은 정확히 $\sqrt{2}$입니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

쌍곡선이란 무엇인가요?

쌍곡선은 두 고정점(초점)까지의 거리 차가 일정한 점들의 집합입니다. 중심이 (h, k)인 가로형 쌍곡선의 표준형은 (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1입니다. 좌우로 벌어지는 두 개의 분리된 가지, 주축 위의 두 꼭짓점, 꼭짓점보다 바깥의 두 초점, 그리고 가지가 한없이 가까워지지만 닿지는 않는 두 점근선을 가집니다.

쌍곡선의 초점은 어떻게 구하나요?

(x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1에서는 먼저 초점 거리 c = √(a² + b²)를 계산합니다. 초점은 주축 위 (h ± c, k)에 있습니다. 예를 들어 a = 3, b = 4, 중심 (0, 0)이면 c = √(9 + 16) = √25 = 5이므로 초점은 (5, 0)과 (−5, 0)입니다.

쌍곡선의 점근선이란 무엇인가요?

점근선은 가지가 무한히 뻗어 나갈 때 가까워지는 두 직선입니다. 가로형 쌍곡선에서는 중심 (h, k)를 지나며 기울기가 ±b/a입니다: y = k ± (b/a)(x − h). 중심에 놓인 가로 2a·세로 2b의 「기준 직사각형」을 그리고 그 대각선을 연장하면 손으로 빠르게 구할 수 있습니다.

쌍곡선의 이심률은 무엇을 의미하나요?

이심률은 e = c/a입니다. c = √(a² + b²)는 항상 a보다 크므로 쌍곡선은 항상 e > 1입니다. 1에 가까울수록 가지가 주축에 붙은 좁은 형태가 되고, 값이 클수록 더 가파르게 벌어집니다. (참고로 타원은 0 ≤ e < 1, 포물선은 e = 1입니다.)