최종 업데이트: 2026-07-01

원의 방정식

원은 고정된 한 점(중심 $(h, k)$)에서 일정한 거리(반지름 $r$)에 있는 모든 점의 집합입니다. 이 정의를 좌표로 옮기면 원의 표준형이 됩니다.

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

제곱을 전개하고 항을 정리하면 일반형이 나옵니다.

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

두 방정식은 같은 원을 나타냅니다. 표준형은 중심과 반지름을 그대로 보여 주고, 일반형은 그것을 감추지만 방정식이 "날것"으로 주어질 때 자연스럽게 나타나는 형태입니다. 이 계산기는 두 형태를 어느 방향으로든 변환합니다.

일반형에서 중심과 반지름으로

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 이 주어지면 중심과 반지름은 다음과 같습니다.

$\text{중심} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

중심의 좌표는 $x$ 와 $y$ 의 계수에서 바로 얻습니다. 반지름의 경우, 근호 안의 양(근호 안의 값 $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$)이 양수라야 실제 원이 존재합니다.

완전제곱식 만들기

이 변환은 두 변수에 대해 동시에 적용하는 완전제곱식 만들기 그 자체입니다. 일반형에서 시작해 묶습니다.

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

각 제곱을 완성하려면 일차 계수 절반의 제곱을 양변에 더합니다. $x$ 묶음에는 $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$, $y$ 묶음에는 $\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$ 입니다.

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

좌변은 이제 중심이 $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$ 인 두 완전제곱의 합이고, 우변은 $r^2$ 입니다. 이것이 바로 표준형입니다.

풀이 예제

문제: $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$ 의 중심과 반지름을 구하시오.

1단계 — 계수 파악: $D = -4$, $E = 6$, $F = 9$.

2단계 — 중심 구하기:

$\text{중심} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

3단계 — 반지름 구하기:

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

따라서 이 원은 중심 $(2, -3)$, 반지름 $2$ 이고, 표준형은 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$ 입니다.

중심과 반지름에서 다시 일반형으로

반대 방향에서는 표준형의 제곱을 전개합니다. 중심 $(h, k)$, 반지름 $r$ 일 때,

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

위 예제에서 $h = 2$, $k = -3$, $r = 2$ 이면 $D = -4$, $E = 6$, $F = 4 + 9 - 4 = 9$ 가 되어 원래의 일반형 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$ 을 회복합니다.

실제 원이 없는 경우

반지름이 실수가 되는 것은 근호 안의 값이 양수일 때뿐입니다.

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

세 가지 경우가 생깁니다.

• 근호 안의 값이 양수 — $r = \sqrt{\text{근호 안의 값}}$ 인 실제 원.
• 근호 안의 값이 0 — 방정식이 한 점 $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$ 으로 축소됩니다(반지름 0 의 퇴화된 "점원").
• 근호 안의 값이 음수 — 방정식을 만족하는 실수 점이 없습니다. 이를 허원이라고 부르기도 하며, 기하학적으로 그릴 것이 없습니다.

예를 들어 $x^2 + y^2 + 1 = 0$ 은 $D = E = 0$, $F = 1$ 이므로 근호 안의 값은 $-1$ 입니다. 제곱의 합이 $-1$ 이 되는 실수 $(x, y)$ 는 없으므로 원이 존재하지 않습니다.

일반형이 중요한 이유

일반형 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 은 $x^2$ 과 $y^2$ 의 계수가 같고 $xy$ 항이 없는 이차방정식으로, 이는 원뿔곡선 중 원임을 나타내는 대수적 표식입니다. 이를 알아보면 복잡한 이차방정식이 원인지(제곱 계수가 같고 교차항이 없는지) 계산하기 전에 한눈에 판단할 수 있고, 완전제곱식을 만들면 그 중심과 반지름이 드러납니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

원의 표준형과 일반형은 어떻게 다른가요?

표준형 (x − h)² + (y − k)² = r² 은 중심 (h, k)과 반지름 r을 바로 읽을 수 있습니다. 일반형 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 은 이를 전개한 형태로, 중심과 반지름은 드러나지 않지만 대수 계산이나 다른 이차곡선과의 비교에 편리합니다. 두 형태는 같은 원을 나타내며, 완전제곱식(일반형 → 표준형)이나 제곱 전개(표준형 → 일반형)로 서로 변환할 수 있습니다.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 에서 중심과 반지름을 구하려면?

x와 y에 대해 각각 완전제곱식을 만듭니다. 중심은 (−D/2, −E/2), 반지름은 r = √(D²/4 + E²/4 − F)입니다. 예를 들어 x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 의 중심은 (2, −3), 반지름은 √(4 + 9 − 9) = √4 = 2 입니다.

완전제곱식은 어떻게 일반형을 표준형으로 바꾸나요?

x 항과 y 항을 묶습니다: (x² + Dx) + (y² + Ey) = −F. 양변에 (D/2)²과 (E/2)²을 더해 각 제곱을 완성하면 (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F. 좌변은 이제 중심이 (−D/2, −E/2)인 두 완전제곱이고 우변이 r²입니다. 이것이 표준형입니다.

방정식이 실제 원을 나타내지 않는 경우는?

반지름의 제곱은 r² = D²/4 + E²/4 − F입니다. 이 값이 음수이면 방정식을 만족하는 실수 (x, y)가 없어 원이 존재하지 않습니다(허원이라고도 합니다). 정확히 0이면 방정식은 중심 한 점으로 축소됩니다 — 반지름 0의 퇴화된 "점원"입니다. 진짜 원이려면 D²/4 + E²/4 − F > 0 이어야 합니다.