최종 업데이트: 2026-06-05

반구의 정의

반구는 구를 대원(大圓)을 포함하는 평면으로 절단하여 얻은 입체도형입니다. 평평한 원형 밑면과 돔 형태의 곡면으로 구성되며, 밑면의 반지름은 원래 구의 반지름과 같습니다. 대표적인 예로 그릇, 건축 돔, 이글루 등이 있습니다.

공식

반지름 r인 반구에 대한 공식은 다음과 같습니다.

항목	공식	비고
부피	$V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$	구 부피의 절반
곡면적	$A_c = 2\pi r^2$	돔만, 밑면 제외
밑면적	$A_b = \pi r^2$	평면 원판
전체 표면적	$A = 3\pi r^2$	돔 + 밑면

유도

부피

반지름 $r$인 구의 부피는 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$입니다. 반구는 이의 정확히 절반이므로,

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

적분으로도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 높이 $h$에서의 단면 반지름이 $\sqrt{r^2 - h^2}$임을 이용하여 $h = 0$부터 $h = r$까지 적분하면,

$V = \int_0^r \pi(r^2 - h^2)\,dh = \pi\!\left[r^2 h - \frac{h^3}{3}\right]_0^r = \frac{2}{3}\pi r^3$

곡면적

구의 전체 표면적은 $4\pi r^2$이며, 돔은 그 절반입니다.

$A_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

밑면적과 전체 표면적

밑면은 반지름 $r$인 원이므로,

$A_b = \pi r^2$

전체 표면적은 돔과 밑면의 합입니다.

$A = A_c + A_b = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

반구와 구의 비교

항목	반구	구	비율
부피	$\dfrac{2}{3}\pi r^3$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$	1/2
곡면적	$2\pi r^2$	$4\pi r^2$	1/2
전체 표면적	$3\pi r^2$	$4\pi r^2$	3/4

부피와 곡면적은 각각 구의 절반입니다. 그러나 전체 표면적은 구 표면적의 4분의 3으로, 절반이 아닙니다. 평면 밑면이 $\pi r^2$만큼 추가되기 때문입니다. 구 계산을 단순히 절반으로 나누었을 때 가장 흔히 발생하는 오류입니다.

계산 예시

반지름 10 cm(0.10 m)인 반구형 그릇을 예로 들면,

부피: $V = \frac{2}{3}\pi (0.10)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0.001 \approx 0.002094 \text{ m}^3 = 2{,}094 \text{ cm}^3$

곡면적: $A_c = 2\pi (0.10)^2 = 2\pi \times 0.01 \approx 0.0628 \text{ m}^2 = 628.3 \text{ cm}^2$

밑면적: $A_b = \pi (0.10)^2 = \pi \times 0.01 \approx 0.0314 \text{ m}^2 = 314.2 \text{ cm}^2$

전체 표면적: $A = 3\pi (0.10)^2 = 3\pi \times 0.01 \approx 0.0942 \text{ m}^2 = 942.5 \text{ cm}^2$

반지름 변화에 따른 스케일링

부피는 $r^3$에, 표면적은 $r^2$에 비례합니다.

반지름 배수	부피 배수	표면적 배수
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

이 관계는 용기와 돔 구조물 설계에서 중요합니다. 반지름을 두 배로 늘리면 부피는 8배, 표면적은 4배 증가합니다.

관련 계산: 구의 부피·겉넓이 계산기도 참고하세요, 원뿔 부피·겉넓이 계산기도 참고하세요

자주 묻는 질문 (FAQ)

반구의 부피 공식은 무엇입니까?

반구의 부피는 V = (2/3)πr³으로, 구 전체 부피 (4/3)πr³의 정확히 절반입니다. r = 5 cm인 경우: r³ = (0.05 m)³ = 0.000125 m³이므로, V = (2/3) × π × 0.000125 ≈ 0.000262 m³ ≈ 261.8 cm³입니다.

반구의 전체 표면적에 평면 밑면이 포함됩니까?

포함됩니다. 전체 표면적 = 곡면적(2πr²) + 밑면적(πr²) = 3πr²입니다. 돔 표면만 필요하면 2πr²를 사용하십시오. r = 5 cm인 경우: 곡면적 ≈ 157.1 cm², 밑면적 ≈ 78.5 cm², 전체 ≈ 235.6 cm²입니다.

반구와 완전한 구는 부피와 표면적이 어떻게 다릅니까?

반구의 부피는 같은 반지름의 구 부피의 절반입니다(V = (2/3)πr³ 대 (4/3)πr³). 곡면적(2πr²)도 구의 표면적(4πr²)의 절반입니다. 그러나 전체 표면적(3πr²)은 구 표면적의 3/4에 해당하는데, 평면 밑면이 πr²만큼 추가되기 때문입니다.

반구의 곡면적만 구하는 공식은 무엇입니까?

곡면(돔) 표면적은 A_c = 2πr²이며, 밑면은 포함하지 않습니다. r = 5 cm인 경우: A_c = 2 × π × 25 ≈ 157.1 cm². 밑면적(πr² ≈ 78.5 cm²)을 더하면 전체 표면적은 3πr² ≈ 235.6 cm²입니다.