원뿔 부피·겉넓이 계산기

최종 업데이트: 2026-05-18

직원뿔의 정의

**직원뿔(直圓錐)**은 원형 밑면과 하나의 꼭짓점으로 이루어진 입체도형으로, 꼭짓점이 밑면 원의 중심 바로 위에 위치합니다. 밑면 반지름 r과 높이 h를 알면 부피, 모선 길이, 옆넓이, 겉넓이를 모두 계산할 수 있습니다.

공식 정리

밑면 반지름 r, 높이 h인 원뿔에 대해:

항목	공식
모선 길이	$l = \sqrt{r^2 + h^2}$
부피	$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
옆넓이	$A_\text{옆} = \pi r l$
겉넓이	$A_\text{겉} = \pi r (r + l)$

모선이란

모선(母線) l은 꼭짓점에서 밑면 원의 가장자리까지 옆면을 따라 잰 직선 거리입니다. r, h, l은 직각삼각형을 이루므로 피타고라스 정리에 의해 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$가 됩니다.

모선은 원뿔의 옆면을 펼쳤을 때 만들어지는 부채꼴의 반지름이기도 합니다. 종이컵이나 아이스크림 콘을 직접 오려낼 때 모선 길이가 기준이 됩니다.

원뿔 부피가 원기둥의 1/3인 이유

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$에서 1/3은 고대부터 알려진 입체도형의 핵심 결과입니다. 유클리드는 《원론》(제12권 명제 10)에서 밑면과 높이가 같은 원기둥을 동일한 원뿔 세 개로 정확히 채울 수 있음을 증명했습니다.

물을 활용해 직접 확인할 수 있습니다. 원뿔 모양 용기에 물을 채워 같은 밑면·높이의 원기둥에 세 번 부으면 원기둥이 정확히 가득 찹니다.

계산 예시

도로 공사 현장이나 주차 구역에 세워두는 교통 콘은 밑면 반지름 약 15 cm, 높이 약 70 cm입니다.

모선 길이: $l = \sqrt{15^2 + 70^2} = \sqrt{225 + 4900} = \sqrt{5125} \approx 71.6$ cm

부피: $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 15^2 \times 70 = \frac{1}{3} \times \pi \times 15{,}750 \approx 16{,}493$ cm³ (약 16.5 리터)

옆넓이 (주황색 플라스틱 면): $A_\text{옆} = \pi \times 15 \times 71.6 \approx 3{,}376$ cm²

겉넓이 (밑면 포함): $A_\text{겉} = \pi \times 15 \times (15 + 71.6) \approx 4{,}083$ cm²

아이스크림 콘은 보통 r ≈ 2.5 cm, h ≈ 12 cm로, 부피는 약 78.5 cm³이며 소주잔 한 잔(약 50 mL)보다 조금 더 큰 크기입니다.

적용 범위: 직원뿔

이 공식들은 **직원뿔(축이 밑면에 수직)**에 적용됩니다. 사축원뿔(꼭짓점이 한쪽으로 기울어진 원뿔)도 h가 실제 수직 높이라면 부피 공식은 같지만, 옆넓이 공식은 다르고 더 복잡합니다. 실생활에서 만나는 원뿔(아이스크림 콘, 깔때기, 교통 콘, 파티 모자 등)은 거의 모두 직원뿔이므로 이 계산기로 충분히 해결할 수 있습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

원뿔의 부피를 구하는 공식은 무엇인가요?

직원뿔의 부피 공식은 V = (1/3)πr²h입니다. r은 밑면 반지름, h는 높이입니다. 예를 들어 r = 5 cm, h = 12 cm인 원뿔의 부피는 V = (1/3) × π × 25 × 12 ≈ 314.2 cm³입니다.

원뿔의 부피가 원기둥의 1/3인 이유는 무엇인가요?

밑면과 높이가 같은 원기둥은 동일한 원뿔 3개로 정확히 채울 수 있습니다. 유클리드가 《원론》(제12권 명제 10)에서 증명한 결과이며, 물을 이용한 실험으로도 쉽게 확인할 수 있습니다. 공식의 1/3이 이 관계를 반영합니다.

원뿔의 모선 길이는 어떻게 구하나요?

모선 l은 꼭짓점에서 밑면 원 위의 한 점까지 옆면을 따라 잰 직선 거리입니다. 피타고라스 정리를 적용하면 l = √(r² + h²)입니다. r = 5 cm, h = 12 cm일 때 l = √(25 + 144) = √169 = 13 cm가 됩니다.

원뿔의 겉넓이를 구하는 방법은?

겉넓이는 옆넓이와 밑면 넓이의 합입니다. 옆넓이 = πrl, 밑면 넓이 = πr², 겉넓이 = πr(r + l). r = 5 cm, l = 13 cm이면 겉넓이 = π × 5 × (5 + 13) = 90π ≈ 282.7 cm²입니다.