최종 업데이트: 2026-05-20

삼각형의 외접원

외접원은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 유일한 원입니다. 이 원의 반지름 $R$을 외접원 반지름(외접반지름)이라 하고, 원의 중심을 외심이라고 합니다. 이 계산기는 삼각형의 세 변 $a$, $b$, $c$만 입력하면 $R$, 외접원 넓이, 외접원 둘레를 구해 줍니다.

모든 삼각형에는 외접원이 정확히 하나 존재합니다. 이는 일반적인 사각형 등에서는 성립하지 않는 삼각형만의 성질입니다. 외접원은 고전 기하학과 삼각법, 측량 등에서 폭넓게 활용됩니다.

외접원 반지름 계산 방법

세 변의 길이로 외접원 반지름을 구하는 표준 방법은 헤론의 공식과 세 변의 곱을 결합합니다.

1단계 — 반둘레:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

2단계 — 삼각형 넓이 (헤론의 공식):

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

3단계 — 외접원 반지름:

$R = \frac{abc}{4S}$

계산 예시 — 변의 길이가 5, 12, 13인 삼각형:

$s = \frac{5+12+13}{2} = 15$

$S = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30$

$R = \frac{5 \times 12 \times 13}{4 \times 30} = \frac{780}{120} = 6.5$

외접원 넓이는 $\pi R^2 \approx 132.7$, 외접원 둘레는 $2\pi R \approx 40.8$입니다.

참고로 이 삼각형(5-12-13)은 직각삼각형이므로 외접원 반지름은 빗변의 절반인 $13 / 2 = 6.5$와 정확히 일치합니다.

외심의 위치

외심 $O$는 세 꼭짓점으로부터 등거리인 점입니다. 기하학적으로는 세 변의 수직이등분선의 교점에 위치하며, 삼각형의 종류에 따라 위치가 달라집니다.

삼각형 종류	외심의 위치
예각삼각형 (모든 각 < 90°)	삼각형 내부
직각삼각형 (한 각 = 90°)	빗변의 중점
둔각삼각형 (한 각 > 90°)	삼각형 외부

직각삼각형의 경우 간단한 검산이 가능합니다. 3-4-5 직각삼각형에서 외심은 빗변(5)의 중점에 있으므로 $R = 5/2 = 2.5$이고, 공식 $R = abc/(4S) = 60/24 = 2.5$와 일치합니다.

사인 법칙과의 관계

외접원 반지름은 확장된 사인 법칙을 통해 각의 크기와도 연결됩니다.

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

이 식은 각 변과 그 대각의 사인값의 비율이 모두 $2R$로 동일함을 나타냅니다. 직각삼각형($C = 90°$, $\sin C = 1$)에서는 $2R = c$, 즉 $R = c/2$가 되는 이유도 이 법칙으로 설명됩니다.

외접원과 내접원의 비교

내접원은 삼각형 내부에서 세 변에 모두 접하는 원입니다. 내접원의 반지름 $r$은 다음과 같습니다.

$r = \frac{S}{s}$

두 반지름 사이에는 $R \geq 2r$의 부등식이 항상 성립합니다. 외접원 반지름은 항상 내접원 반지름의 2배 이상이며, 비율 $R/r$이 정확히 2가 되는 것은 정삼각형에서만 가능합니다. 3-4-5 직각삼각형의 경우 $R = 2.5$, $r = 6/6 = 1$이므로 $R/r = 2.5$로, 최솟값 2보다 큽니다.

두 반지름 모두 같은 넓이 $S$와 반둘레 $s$를 사용하지만 의미하는 바는 다릅니다. $R$은 삼각형이 얼마나 넓게 펼쳐져 있는지를, $r$은 삼각형 내부에 얼마나 여유가 있는지를 나타냅니다.

삼각형 부등식

세 변이 실제 삼각형을 이루는 경우에만 계산 결과가 유효합니다. 삼각형 부등식 조건은 다음과 같습니다.

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

조건을 하나라도 만족하지 못하면 삼각형이 존재하지 않습니다. 예를 들어 변의 길이가 1, 2, 10이면 $1 + 2 = 3 < 10$이므로 삼각형이 만들어지지 않고, 헤론의 공식에서 제곱근 안의 값이 음수가 되어 $R$을 정의할 수 없습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

외접원 반지름(외접반지름)이란 무엇인가요?

외접원 반지름 R은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 외접원의 반지름입니다. 세 변의 길이가 a, b, c이고 삼각형의 넓이가 S일 때, 공식은 R = abc ÷ (4S)입니다. 예를 들어 3-4-5 직각삼각형의 경우 S = 6이므로 R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2.5입니다. 직각삼각형에서 외접원 반지름은 항상 빗변의 절반과 같습니다.

외심은 삼각형의 어디에 위치하나요?

외심 O는 삼각형의 세 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있는 점으로, 세 변의 수직이등분선의 교점입니다. 삼각형의 종류에 따라 위치가 달라집니다. 예각삼각형에서는 삼각형 내부에, 직각삼각형에서는 빗변의 중점에, 둔각삼각형에서는 삼각형 외부에 위치합니다.

외접원과 내접원은 어떻게 다른가요?

외접원은 세 꼭짓점을 모두 지나며 반지름은 R = abc ÷ (4S)입니다. 내접원은 세 변에 모두 접하며 반지름은 r = S ÷ s입니다(s는 반둘레). 3-4-5 직각삼각형의 경우 R = 2.5, r = 1입니다. R ≥ 2r이 항상 성립하므로 외접원 반지름은 내접원 반지름의 2배 이상입니다. 비율 R/r = 2라는 최솟값은 정삼각형에서만 달성됩니다.

사인 법칙과 외접원 반지름의 관계는 무엇인가요?

확장된 사인 법칙에 따르면 a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R이 성립합니다. 즉, 외접원 반지름은 각 변과 그 대각의 사인값의 비율의 절반과 같습니다. 예를 들어 a = 5, sin A = 0.6이면 R = 5 ÷ (2 × 0.6) ≈ 4.167입니다. 직각삼각형(직각의 sin = 1)에서 R = 빗변 ÷ 2가 되는 이유이기도 합니다.