최종 업데이트: 2026-06-04

기댓값의 정의

기댓값(期待値, E[X])은 확률변수가 취할 수 있는 모든 값에 각 확률을 가중하여 합산한 값입니다. 이산확률분포에서 결과값 $x_1, x_2, \ldots, x_n$이 각각 확률 $p_1, p_2, \ldots, p_n$으로 발생할 때, 기댓값은 다음과 같이 정의됩니다.

직관적으로 말하면, 동일한 시행을 매우 많이 반복할 때 수렴하는 장기 평균입니다. 큰 수의 법칙(大數의 法則)에 따르면 독립 시행의 횟수가 늘어날수록 표본 평균은 E[X]에 거의 확실하게 수렴합니다.

계산식과 수치 예제

다음과 같은 세 가지 결과를 갖는 게임을 예로 들겠습니다.

기댓값:

1회 시행당 평균 8,100원의 수익이 기대됩니다. 단기적으로는 −3,000원이 나올 수 있지만, 시행을 충분히 반복하면 평균은 이 값에 수렴합니다.

**분산(σ²)**은 결과값이 기댓값 주변에 얼마나 퍼져 있는지를 제곱 단위로 측정합니다.

위 예에서:

**표준편차(σ)**는 분산의 양의 제곱근으로, 원래 단위(원)로 되돌아가 해석이 가능합니다.

표준편차 약 8,191원은 개별 시행의 결과가 기댓값에서 일반적으로 그 정도 벗어날 수 있음을 의미합니다.

기댓값과 분산을 함께 고려해야 하는 이유

두 분포가 동일한 기댓값을 가지더라도 분산이 크게 다를 수 있습니다. 예를 들어 확실하게 10만 원을 받는 선택(E[X] = 10만 원, σ = 0)과 50% 확률로 20만 원을 받거나 50% 확률로 아무것도 받지 못하는 선택(E[X] = 10만 원, σ = 10만 원)은 기댓값은 같지만 위험 구조가 전혀 다릅니다.

합리적인 의사결정에서는 기댓값뿐 아니라 분산, 즉 결과의 불확실성도 함께 고려합니다. 총 자산 대비 위험이 작고 같은 기회를 반복할 수 있는 상황에서는 양수 기댓값이 강력한 근거가 됩니다. 반면 단 한 번의 시행으로 전 재산에 영향이 갈 수 있는 상황에서는 기대 수익이 좋더라도 신중하게 접근해야 합니다.

공정한 게임

기댓값이 정확히 0인 게임을 **공정한 게임(fair game)**이라고 합니다. 이 경우 장기적으로 참가자도 운영자도 수익이나 손실이 없습니다. 대부분의 카지노 게임이나 복권은 참가자 입장에서 E[X] < 0이 되도록 설계되어 있어, 운영자에게 구조적인 이익이 발생합니다. 이 계산기를 사용하면 주어진 게임이 공정한지, 유리한지, 불리한지를 쉽게 확인할 수 있습니다.

큰 수의 법칙과 단기 불확실성

큰 수의 강법칙에 따르면, 유한한 기댓값을 갖는 독립적이고 동일하게 분포된 확률변수들의 표본 평균은 시행 횟수가 증가함에 따라 거의 확실하게 E[X]에 수렴합니다. 이는 보험 가격 결정, 금융 모델, 품질 관리 등 장기 평균에 의존하는 모든 분야의 이론적 근거가 됩니다.

단, 이 수렴은 시행 횟수가 충분히 클 때의 이야기입니다. 소수의 시행에서는 실제 결과가 기댓값과 상당히 다를 수 있습니다. 정규분포를 가정할 때 개별 결과의 약 68%는 E[X] ± σ 범위 안에, 약 95%는 E[X] ± 2σ 범위 안에 들어옵니다. 표준편차는 이 단기 불확실성을 정량화합니다.

계산기 사용 방법

결과값과 확률을 각각 쉼표로 구분하여 입력합니다. 두 목록의 개수는 같아야 합니다. 확률은 모두 0 이상이어야 하고 합이 1이어야 합니다. 합이 1에서 0.001 이상 벗어나면 경고가 표시됩니다. 결과값은 음수를 포함한 임의의 실수를 입력할 수 있습니다.

확률분포 차트는 각 결과값의 확률을 막대 그래프로 표시하여 확률이 어디에 집중되어 있는지를 한눈에 파악할 수 있게 합니다.