최종 업데이트: 2026-06-05

점과 직선 사이의 거리

점 P = (p_x, p_y)에서 직선까지의 거리는 P와 직선 위의 임의의 점을 잇는 선분 중 가장 짧은 것의 길이입니다. 이 최단 선분은 항상 직선에 수직이므로 **수직 거리(perpendicular distance)**라고 합니다. 직선이 표준형 Ax + By + C = 0으로 주어질 때 수직 거리 공식은 다음과 같습니다.

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

분자 |Ap_x + Bp_y + C|는 점 P의 좌표를 직선 방정식에 대입한 값의 절댓값이며, 분모 √(A² + B²)는 직선의 법선 벡터 n = (A, B)의 크기입니다. 이 나눗셈이 대수적 값을 실제 좌표 단위의 기하학적 거리로 변환합니다.

공식의 유도

직선 Ax + By + C = 0의 법선 벡터는 n = (A, B)입니다. 직선 위의 임의의 점 Q = (x₀, y₀)는 Ax₀ + By₀ + C = 0을 만족합니다.

벡터 QP = (p_x − x₀, p_y − y₀)를 단위 법선 벡터 n̂ = (A, B)/|n| 방향으로 정사영하면

$\text{부호 있는 거리} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

Q가 직선 위에 있으므로 Ax₀ + By₀ = −C가 성립합니다. 대입하면

$\text{부호 있는 거리} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

절댓값을 취하면 부호 없는 기하학적 거리 d를 얻습니다. 부호의 양 · 음은 점 P가 직선의 어느 쪽에 있는지를 나타냅니다.

수선의 발

수선의 발 F는 직선 위에서 P에 가장 가까운 점입니다. t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A² + B²)로 정의하면, P에서 법선 방향으로 t만큼 이동한 점이 F입니다.

$F_x = p_x - \frac{A(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

검증: AF_x + BF_y + C = 0이 성립하여 F가 직선 위에 있음을 확인할 수 있으며, 선분 PF의 길이는 d와 같습니다.

계산 예시

문제: 점 P = (2, 1)에서 직선 3x + 4y − 12 = 0까지의 수직 거리와 수선의 발을 구하시오.

① 분자와 분모 계산:

$Ap_x + Bp_y + C = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + (-12) = 6 + 4 - 12 = -2$

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

② 수직 거리:

$d = \frac{|-2|}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$

③ 수선의 발 좌표:

$t = \frac{-2}{25} = -0.08$

$F_x = 2 - 3 \cdot (-0.08) = 2 + 0.24 = 2.24$

$F_y = 1 - 4 \cdot (-0.08) = 1 + 0.32 = 1.32$

검증: 3(2.24) + 4(1.32) − 12 = 6.72 + 5.28 − 12 = 0 ✓

점 P는 직선에서 0.4 떨어져 있으며, 직선 위에서 가장 가까운 점은 F = (2.24, 1.32)입니다.

기울기-절편 형태에서 변환

직선이 y = mx + b로 주어진 경우 다음과 같이 표준형으로 변환합니다.

$mx - y + b = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = b$

예를 들어 y = 2x + 3은 2x − y + 3 = 0이 되므로 A = 2, B = −1, C = 3입니다.

A, B, C 전체에 같은 상수(≠ 0)를 곱해도 직선 자체는 변하지 않으며, 공식의 분자와 분모가 같은 비율로 변하기 때문에 거리 역시 달라지지 않습니다.

부호 있는 거리

이 계산기는 부호 없는 거리 d ≥ 0을 출력합니다. 부호 있는 버전 (Ap_x + Bp_y + C) / √(A² + B²)의 부호는 점 P가 법선 벡터 방향의 어느 쪽에 위치하는지를 나타냅니다. 부호 있는 거리는 반평면 판별이나 지지 벡터 분류 등의 응용에서 활용됩니다.

특수한 경우

• 점이 직선 위에 있을 때: Ap_x + Bp_y + C = 0이므로 d = 0이고 F = P입니다.
• 수평선 (A = 0): d = |By + C| / |B|로 단순화됩니다.
• 수직선 (B = 0): d = |Ax + C| / |A|로 단순화됩니다.
• 퇴화 방정식 (A = B = 0): C = 0이면 모든 점이 방정식을 만족하고, C ≠ 0이면 아무 점도 만족하지 않으므로 두 경우 모두 직선이 정의되지 않아 거리 공식을 적용할 수 없습니다.

피타고라스 정리와의 관계

수직 거리는 직각삼각형의 관점에서 이해할 수 있습니다. 점 P, 수선의 발 F, 직선 위의 임의의 점 Q를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 구성하면 F에서 직각이 형성됩니다. 피타고라스 정리에 의해 PQ² = PF² + FQ²이 성립하므로, 수직 거리 PF가 P에서 직선까지의 어떤 선분보다도 짧음을 확인할 수 있습니다.