최종 업데이트: 2026-05-19

이원연립일차방정식의 정의

이원연립일차방정식이란 미지수 x, y를 포함하는 다음 형태의 방정식 두 개를 말합니다.

$$a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2$$

계수 여섯 개(a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂)를 입력하면 **크라메르 공식(Cramer's rule)**을 이용해 x와 y를 구하거나, 해가 없는 경우(불능)와 해가 무수히 많은 경우(부정)를 판별합니다. 풀이 과정은 단계별로 표시됩니다.

크라메르 공식

먼저 계수 행렬의 행렬식을 계산합니다.

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

D ≠ 0이면 연립방정식의 유일한 해는 다음과 같습니다.

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

각 분자는 계수 행렬에서 한 열을 우변 벡터로 대체한 행렬의 행렬식입니다. 이는 역행렬 공식 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$를 성분별로 풀어쓴 것과 같습니다.

기하학적 의미

각 방정식 $ax + by = c$는 xy 평면 위의 직선 하나를 나타냅니다. 연립방정식을 푼다는 것은 두 직선의 교점을 찾는 것입니다.

• D ≠ 0 (유일한 해): 두 직선이 한 점에서 만납니다. 계수 행렬이 역행렬을 가집니다.
• D = 0, 분자도 모두 0 (부정): 두 직선이 일치합니다 — 방정식 하나가 다른 하나의 상수배입니다. 그 직선 위의 모든 점이 해가 됩니다.
• D = 0, 분자 중 하나라도 0이 아님 (불능): 두 직선이 평행하고 교점이 없습니다. (x, y) 쌍 중 두 방정식을 동시에 만족하는 것은 존재하지 않습니다.

풀이 예시

기본값으로 설정된 연립방정식을 풀어 봅니다.

$2x + 3y = 8 \quad \text{및} \quad x - y = 1$

1단계 — 행렬식 계산:

$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

D ≠ 0이므로 유일한 해가 존재합니다.

2단계 — x 계산:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2.2$

3단계 — y 계산:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1.2$

검산:

$2 \times 2.2 + 3 \times 1.2 = 4.4 + 3.6 = 8 \checkmark \quad \text{및} \quad 2.2 - 1.2 = 1 \checkmark$

행렬식이 0인 경우의 분류

D = 0이면 계수 행렬의 두 행이 비례 관계입니다: $[a_1, b_1] = k[a_2, b_2]$. 이때 우변의 비례 여부로 연립방정식을 분류합니다.

• $c_1 = k c_2$이면 두 크라메르 분자가 모두 0 → 부정(해가 무수히 많음)
• $c_1 \neq k c_2$이면 분자 중 하나 이상이 0이 아님 → 불능(해 없음)

실제로는 분자 $c_1 b_2 - c_2 b_1$과 $a_1 c_2 - a_2 c_1$을 계산해 둘 다 0이면 부정, 하나라도 0이 아니면 불능으로 판별하면 됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

행렬식이 0이면 연립방정식의 해는 어떻게 되나요?

행렬식 D = a₁b₂ − a₂b₁은 계수 행렬이 역행렬을 갖는지 판별합니다. D ≠ 0이면 두 직선이 한 점에서 교차하여 유일한 해가 존재합니다. D = 0이면 두 직선이 평행하거나 일치하므로 해가 없거나(불능) 무수히 많습니다(부정).

연립방정식의 해가 무수히 많은 경우는 언제인가요?

두 방정식이 같은 직선을 나타낼 때, 즉 한 방정식이 다른 방정식의 상수배일 때입니다. 이 경우 행렬식과 크라메르 분자가 모두 0이 되며, 그 직선 위의 모든 점이 연립방정식의 해가 됩니다.

크라메르 공식과 대입법 중 어느 것이 더 편리한가요?

대입법은 계수가 간단할 때 손으로 계산하기 쉽습니다. 크라메르 공식은 해를 닫힌 형태로 직접 표현하므로, 계수 행렬이 고정된 채 우변만 바뀌는 연립방정식을 여러 개 풀거나 기호 계산이 필요할 때 효율적입니다.

행렬식이 0인데도 해가 존재할 수 있는 이유는 무엇인가요?

D = 0은 계수 행렬이 특이 행렬임을 나타낼 뿐, 해가 없음을 곧바로 의미하지는 않습니다. 우변이 계수와 같은 비율로 맞아떨어지면(정합) 해가 무수히 존재합니다. 크라메르 분자 중 하나라도 0이 아닐 때 비로소 해가 없는 불능 상태가 됩니다.