홈 수학 이원연립일차방정식 풀이 — 크라메르 공식 계산기 이원연립일차방정식 풀이 — 크라메르 공식 계산기 크라메르 공식으로 이원연립일차방정식을 빠르게 풉니다. 계수 6개를 입력하면 x·y 해와 행렬식을 단계별로 계산해 드립니다. 인쇄 입력 a_1\, x + b_1\, y = c_1 a1 b1 c1 a_2\, x + b_2\, y = c_2 a2 b2 c2 결과 부정 (해가 무수히 많음) a_1 = 2b_1 = 3c_1 = 8a_2 = 1b_2 = -1c_2 = 1 행렬식 \begin{aligned} D &= a_1 b_2 - a_2 b_1 \\ &= \left(2\right)\left(-1\right) - \left(1\right)\left(3\right) \\ &= ? \end{aligned} 공유 리포트 인쇄 재설정 임베드 이 계산기 임베드 미리보기 이 코드를 페이지에 붙여넣으면 계산기가 표시됩니다. 코드 복사 이 계산 공유 이 링크를 여는 사람은 입력한 값이 채워진 상태로 보게 됩니다. 링크 복사 공유하기 XFacebookLINE 이메일 최종 업데이트: 2026-05-19 이원연립일차방정식의 정의 이원연립일차방정식이란 미지수 x, y를 포함하는 다음 형태의 방정식 두 개를 말합니다. a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 계수 여섯 개(a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂)를 입력하면 **크라메르 공식(Cramer's rule)**을 이용해 x와 y를 구하거나, 해가 없는 경우(불능)와 해가 무수히 많은 경우(부정)를 판별합니다. 풀이 과정은 단계별로 표시됩니다. 크라메르 공식 먼저 계수 행렬의 행렬식을 계산합니다. D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1 D ≠ 0이면 연립방정식의 유일한 해는 다음과 같습니다. x=c1b2−c2b1D,y=a1c2−a2c1Dx = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D} 각 분자는 계수 행렬에서 한 열을 우변 벡터로 대체한 행렬의 행렬식입니다. 이는 역행렬 공식 x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}를 성분별로 풀어쓴 것과 같습니다. 기하학적 의미 각 방정식 ax+by=cax + by = c는 xy 평면 위의 직선 하나를 나타냅니다. 연립방정식을 푼다는 것은 두 직선의 교점을 찾는 것입니다. D ≠ 0 (유일한 해): 두 직선이 한 점에서 만납니다. 계수 행렬이 역행렬을 가집니다. D = 0, 분자도 모두 0 (부정): 두 직선이 일치합니다 — 방정식 하나가 다른 하나의 상수배입니다. 그 직선 위의 모든 점이 해가 됩니다. D = 0, 분자 중 하나라도 0이 아님 (불능): 두 직선이 평행하고 교점이 없습니다. (x, y) 쌍 중 두 방정식을 동시에 만족하는 것은 존재하지 않습니다. 풀이 예시 기본값으로 설정된 연립방정식을 풀어 봅니다. 2x+3y=8및x−y=12x + 3y = 8 \quad \text{및} \quad x - y = 1 1단계 — 행렬식 계산: D=(2)(−1)−(1)(3)=−2−3=−5D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5 D ≠ 0이므로 유일한 해가 존재합니다. 2단계 — x 계산: x=(8)(−1)−(1)(3)−5=−11−5=115=2.2x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2.2 3단계 — y 계산: y=(2)(1)−(1)(8)−5=−6−5=65=1.2y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1.2 검산: 2×2.2+3×1.2=4.4+3.6=8✓및2.2−1.2=1✓2 \times 2.2 + 3 \times 1.2 = 4.4 + 3.6 = 8 \checkmark \quad \text{및} \quad 2.2 - 1.2 = 1 \checkmark 행렬식이 0인 경우의 분류 D = 0이면 계수 행렬의 두 행이 비례 관계입니다: [a1,b1]=k[a2,b2][a_1, b_1] = k[a_2, b_2]. 이때 우변의 비례 여부로 연립방정식을 분류합니다. c1=kc2c_1 = k c_2이면 두 크라메르 분자가 모두 0 → 부정(해가 무수히 많음) c1≠kc2c_1 \neq k c_2이면 분자 중 하나 이상이 0이 아님 → 불능(해 없음) 실제로는 분자 c1b2−c2b1c_1 b_2 - c_2 b_1과 a1c2−a2c1a_1 c_2 - a_2 c_1을 계산해 둘 다 0이면 부정, 하나라도 0이 아니면 불능으로 판별하면 됩니다. 자주 묻는 질문 (FAQ)행렬식이 0이면 연립방정식의 해는 어떻게 되나요?행렬식 D = a₁b₂ − a₂b₁은 계수 행렬이 역행렬을 갖는지 판별합니다. D ≠ 0이면 두 직선이 한 점에서 교차하여 유일한 해가 존재합니다. D = 0이면 두 직선이 평행하거나 일치하므로 해가 없거나(불능) 무수히 많습니다(부정). 연립방정식의 해가 무수히 많은 경우는 언제인가요?두 방정식이 같은 직선을 나타낼 때, 즉 한 방정식이 다른 방정식의 상수배일 때입니다. 이 경우 행렬식과 크라메르 분자가 모두 0이 되며, 그 직선 위의 모든 점이 연립방정식의 해가 됩니다. 크라메르 공식과 대입법 중 어느 것이 더 편리한가요?대입법은 계수가 간단할 때 손으로 계산하기 쉽습니다. 크라메르 공식은 해를 닫힌 형태로 직접 표현하므로, 계수 행렬이 고정된 채 우변만 바뀌는 연립방정식을 여러 개 풀거나 기호 계산이 필요할 때 효율적입니다. 행렬식이 0인데도 해가 존재할 수 있는 이유는 무엇인가요?D = 0은 계수 행렬이 특이 행렬임을 나타낼 뿐, 해가 없음을 곧바로 의미하지는 않습니다. 우변이 계수와 같은 비율로 맞아떨어지면(정합) 해가 무수히 존재합니다. 크라메르 분자 중 하나라도 0이 아닐 때 비로소 해가 없는 불능 상태가 됩니다. 다음 추천 계산기 이차방정식 풀이기 ax² + bx + c = 0을 풉니다. 세 계수를 입력하면 판별식과 두 근(실수 또는 복소수)을 구할 수 있습니다. 자세히 보기분수 사칙연산 계산기 두 분수의 사칙연산(덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈)을 수행하고 결과를 기약 분수로 반환합니다. 소수(0.5)·단순 분수(1/2)·대분수(1 3/4) 형식 모두 지원합니다. 자세히 보기비율 및 비례 계산기 A:B = C:D 형태의 비례식을 푸는 계산기. 세 값을 입력하면 나머지 하나를 계산합니다. 레시피 환산, 지도 축척, 닮은 삼각형, 단위 변환에 활용됩니다. 자세히 보기 200+ 계산기 · 10개 언어 · 완전 무료 대수 더 보기 다항식 정적분 계산기삼차방정식 풀이기완전제곱식 변환 계산기이원연립일차방정식 풀이 — 크라메르 공식 계산기이차방정식 판별식 계산기이차방정식 풀이기 +3 more Show less 일차방정식 계산기 (ax + b = c)절댓값 방정식 계산기 (|ax + b| = c)특정 점에서의 미분 계산기 다른 수학 계산기 평면 기하 두 점 사이의 거리 계산기두 점을 지나는 직선의 방정식부채꼴 넓이 계산기사다리꼴 넓이 계산기삼각형 계산기 (SSS) — 세 변으로 모든 요소 계산삼각형 계산기(ASA) — 한 변과 두 각으로 전체 요소 계산삼각형 계산기(SAS) — 두 변과 끼인각으로 전체 요소 계산삼각형 넓이 계산기외접원 계산기원의 넓이와 둘레 계산기원호 부분 계산기원호의 길이 계산기원환 넓이 계산기이등변삼각형 계산기정다각형 계산기정삼각형 계산기중점 계산기직각삼각형 계산기직각이등변삼각형 계산기 (45-45-90)직선의 기울기 계산기타원 넓이·둘레 계산기평행사변형 넓이 계산기피타고라스 정리 계산기입체 기하 구의 부피·겉넓이 계산기사각뿔 계산기원기둥 부피 및 겉넓이 계산기원뿔 부피·겉넓이 계산기원뿔대 계산기 (잘린 원뿔)원환체 부피 계산기정육면체 계산기 — 부피·겉넓이·대각선직육면체 계산기삼각법 벡터 외적 계산기 (3차원)벡터 크기 계산기사인 법칙 계산기 — AAS 삼각형 풀기삼각함수 계산기 (sin, cos, tan)역삼각함수 계산기 (arcsin, arccos, arctan)코사인 법칙 계산기통계 가중 평균 계산기기술 통계 계산기변동계수 계산기분산·표준편차 계산기신뢰구간 계산기오차율(백분율 오차) 계산기평균, 중앙값, 최빈값 계산기피어슨 상관계수 계산기Z점수 계산기확률 순열 계산기 — P(n, r)이항 확률 계산기정규분포 계산기조건부 확률 및 베이즈 정리 계산기조합 계산기 — C(n, r)주사위 확률 계산기카드 뽑기 확률 계산기팩토리얼 계산기 – n!수열·급수 등차수열 계산기평균변화율 계산기피보나치 수열 계산기정수론 과학적 표기법 변환기로그 계산기로마 숫자 변환기소수 판별기소인수분해 계산기최대공약수 · 최소공배수 계산기분수·백분율 백분율 계산기분수 ↔ 소수 ↔ 백분율 변환기분수 사칙연산 계산기비율 및 비례 계산기 이 계산기가 도움이 되셨나요? 도움 됐어요 개선이 필요해요 개선이 필요해요 어떤 점을 개선하면 좋을까요? 피드백 보내기 OneCalc 제공 ↗
최종 업데이트: 2026-05-19 이원연립일차방정식의 정의 이원연립일차방정식이란 미지수 x, y를 포함하는 다음 형태의 방정식 두 개를 말합니다. a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 계수 여섯 개(a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂)를 입력하면 **크라메르 공식(Cramer's rule)**을 이용해 x와 y를 구하거나, 해가 없는 경우(불능)와 해가 무수히 많은 경우(부정)를 판별합니다. 풀이 과정은 단계별로 표시됩니다. 크라메르 공식 먼저 계수 행렬의 행렬식을 계산합니다. D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1 D ≠ 0이면 연립방정식의 유일한 해는 다음과 같습니다. x=c1b2−c2b1D,y=a1c2−a2c1Dx = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D} 각 분자는 계수 행렬에서 한 열을 우변 벡터로 대체한 행렬의 행렬식입니다. 이는 역행렬 공식 x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}를 성분별로 풀어쓴 것과 같습니다. 기하학적 의미 각 방정식 ax+by=cax + by = c는 xy 평면 위의 직선 하나를 나타냅니다. 연립방정식을 푼다는 것은 두 직선의 교점을 찾는 것입니다. D ≠ 0 (유일한 해): 두 직선이 한 점에서 만납니다. 계수 행렬이 역행렬을 가집니다. D = 0, 분자도 모두 0 (부정): 두 직선이 일치합니다 — 방정식 하나가 다른 하나의 상수배입니다. 그 직선 위의 모든 점이 해가 됩니다. D = 0, 분자 중 하나라도 0이 아님 (불능): 두 직선이 평행하고 교점이 없습니다. (x, y) 쌍 중 두 방정식을 동시에 만족하는 것은 존재하지 않습니다. 풀이 예시 기본값으로 설정된 연립방정식을 풀어 봅니다. 2x+3y=8및x−y=12x + 3y = 8 \quad \text{및} \quad x - y = 1 1단계 — 행렬식 계산: D=(2)(−1)−(1)(3)=−2−3=−5D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5 D ≠ 0이므로 유일한 해가 존재합니다. 2단계 — x 계산: x=(8)(−1)−(1)(3)−5=−11−5=115=2.2x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2.2 3단계 — y 계산: y=(2)(1)−(1)(8)−5=−6−5=65=1.2y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1.2 검산: 2×2.2+3×1.2=4.4+3.6=8✓및2.2−1.2=1✓2 \times 2.2 + 3 \times 1.2 = 4.4 + 3.6 = 8 \checkmark \quad \text{및} \quad 2.2 - 1.2 = 1 \checkmark 행렬식이 0인 경우의 분류 D = 0이면 계수 행렬의 두 행이 비례 관계입니다: [a1,b1]=k[a2,b2][a_1, b_1] = k[a_2, b_2]. 이때 우변의 비례 여부로 연립방정식을 분류합니다. c1=kc2c_1 = k c_2이면 두 크라메르 분자가 모두 0 → 부정(해가 무수히 많음) c1≠kc2c_1 \neq k c_2이면 분자 중 하나 이상이 0이 아님 → 불능(해 없음) 실제로는 분자 c1b2−c2b1c_1 b_2 - c_2 b_1과 a1c2−a2c1a_1 c_2 - a_2 c_1을 계산해 둘 다 0이면 부정, 하나라도 0이 아니면 불능으로 판별하면 됩니다. 자주 묻는 질문 (FAQ)행렬식이 0이면 연립방정식의 해는 어떻게 되나요?행렬식 D = a₁b₂ − a₂b₁은 계수 행렬이 역행렬을 갖는지 판별합니다. D ≠ 0이면 두 직선이 한 점에서 교차하여 유일한 해가 존재합니다. D = 0이면 두 직선이 평행하거나 일치하므로 해가 없거나(불능) 무수히 많습니다(부정). 연립방정식의 해가 무수히 많은 경우는 언제인가요?두 방정식이 같은 직선을 나타낼 때, 즉 한 방정식이 다른 방정식의 상수배일 때입니다. 이 경우 행렬식과 크라메르 분자가 모두 0이 되며, 그 직선 위의 모든 점이 연립방정식의 해가 됩니다. 크라메르 공식과 대입법 중 어느 것이 더 편리한가요?대입법은 계수가 간단할 때 손으로 계산하기 쉽습니다. 크라메르 공식은 해를 닫힌 형태로 직접 표현하므로, 계수 행렬이 고정된 채 우변만 바뀌는 연립방정식을 여러 개 풀거나 기호 계산이 필요할 때 효율적입니다. 행렬식이 0인데도 해가 존재할 수 있는 이유는 무엇인가요?D = 0은 계수 행렬이 특이 행렬임을 나타낼 뿐, 해가 없음을 곧바로 의미하지는 않습니다. 우변이 계수와 같은 비율로 맞아떨어지면(정합) 해가 무수히 존재합니다. 크라메르 분자 중 하나라도 0이 아닐 때 비로소 해가 없는 불능 상태가 됩니다.
