최종 업데이트: 2026-05-19

중점의 정의

중점 계산기는 좌표평면 위의 두 점을 이은 선분의 정가운데 점 좌표를 구합니다. 두 끝점의 좌표를 입력하면 중점 공식을 적용하여 결과를 바로 보여 줍니다.

중점 공식

두 점 P₁(x₁, y₁)과 P₂(x₂, y₂)의 중점 M은 다음과 같습니다.

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

중점의 각 좌표는 두 끝점의 해당 좌표의 산술 평균입니다.

공식의 유도

중점은 두 끝점으로부터 각 축 방향으로 동일한 거리에 있습니다. x 방향의 등거리 조건은 다음과 같습니다.

$$M_x - x_1 = x_2 - M_x$$

M_x를 정리하면 다음과 같습니다.

$$2M_x = x_1 + x_2 \quad\Rightarrow\quad M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}$$

y 방향도 독립적으로 동일한 논리가 적용됩니다. 삼각함수나 거리 공식 없이, 중점의 정의만으로 공식을 바로 유도할 수 있습니다.

풀이 예제

P₁(3, −4)와 P₂(9, 6) 사이의 중점은 다음과 같이 구합니다.

$$M_x = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$M_y = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

중점은 **(6, 1)**입니다. 검증하려면 거리 공식으로 P₁M = MP₂임을 확인하면 됩니다.

중점과 무게중심의 차이

중점 공식은 선분 (두 끝점)에 적용됩니다. 무게중심은 다각형의 기하학적 중심입니다. 꼭짓점이 A, B, C인 삼각형의 무게중심 G는 다음과 같습니다.

$$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$

두 점인 경우에 한해 무게중심과 중점이 일치합니다.

3차원으로 확장

공간 좌표에서는 z 좌표도 함께 평균합니다.

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2},\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$

예제: (2, 5, −1)과 (8, 3, 7)의 중점:

$$M = \left(\frac{2+8}{2},\; \frac{5+3}{2},\; \frac{-1+7}{2}\right) = (5,\; 4,\; 3)$$

각 좌표를 따로 평균한다는 원리는 몇 차원에서든 성립하며, k-평균 클러스터링의 클러스터 중심 갱신 방식과 본질적으로 동일합니다.

활용 분야

• 중학·고등 수학 (좌표기하): 선분의 중점, 대각선의 교점, 수직이등분선 작도에 사용합니다.
• 지도·내비게이션: 두 지점의 중간 지점을 지도에서 찾을 때 적용합니다 (짧은 거리에서 유효).
• 컴퓨터 그래픽: 베지어 곡선 분할과 선분 클리핑 알고리즘에서 중점 연산이 핵심 역할을 합니다.
• 기술 설계·CAD: 부품 중심선이나 대칭축 위치를 결정할 때 사용합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

두 점의 중점 좌표는 어떻게 구하나요?

중점 공식은 M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)입니다. 두 점의 x 좌표의 평균과 y 좌표의 평균을 각각 구하면 됩니다. 예를 들어 P₁(2, 4)와 P₂(8, 10)의 중점은 M = (5, 7)입니다.

중점과 무게중심의 차이는 무엇인가요?

중점은 선분(두 점)의 정가운데 점이고, 무게중심은 다각형이나 입체의 기하학적 중심입니다. 삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점 좌표의 평균입니다: G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). 두 점인 경우에 한해 무게중심과 중점이 일치합니다.

3차원 공간에서 중점은 어떻게 구하나요?

z 좌표도 함께 평균하면 됩니다: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2). 예를 들어 (1, 2, 3)과 (5, 6, 7)의 중점은 (3, 4, 5)입니다. 각 좌표를 따로 평균한다는 원리는 몇 차원에서든 동일하게 적용됩니다.

중점이 왜 좌표의 평균인가요?

중점은 두 끝점으로부터 각 축 방향으로 동일한 거리에 있습니다. x 방향 등거리 조건 x_M − x₁ = x₂ − x_M을 풀면 x_M = (x₁ + x₂) / 2, 즉 산술 평균이 됩니다. y 방향도 독립적으로 같은 원리가 적용됩니다. 삼각함수나 거리 공식 없이 중점의 정의만으로 공식이 바로 유도됩니다.