최종 업데이트: 2026-07-13

모비율 신뢰구간

여론조사가 응답자의 64%가 어떤 정책에 찬성한다고 보도하더라도, 그 하나의 백분율은 한 표본에서 얻은 점추정값일 뿐입니다. 신뢰구간은 이를 참 모비율에 대해 그럴듯한 값의 범위로 바꾸고, 함께 신뢰수준을 제시합니다. 표본비율에, 표본마다 추정값이 얼마나 달라질 수 있는지를 나타내는 오차범위를 결합한 것입니다.

공식

표본 크기 $n$ 중 성공 횟수가 $x$일 때 표본비율은 다음과 같습니다.

$$\hat{p} = \frac{x}{n}$$

표준오차:

$$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}$$

오차범위:

$$E = z^{*} \times SE = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}$$

Wald 신뢰구간:

$$\hat{p} \pm E = \left[\hat{p} - E,\ \hat{p} + E\right]$$

임계 z값(표준정규분포):

신뢰수준	$z^{*}$
90%	1.6449
95%	1.9600
99%	2.5758

Wald 대 Wilson

위의 Wald 구간은 대부분의 입문 교재에 나오는 식으로, $\hat{p}$를 중심으로 대칭이며 계산이 쉽습니다. 약점은 이항분포의 정규근사에 의존한다는 점인데, 표본이 작거나 비율이 0 또는 1에 가까우면 이 근사가 무너집니다. 그럴 때 Wald 구간은 너무 좁아 포함확률이 명시된 수준에 못 미치고, 하한이 0% 미만이거나 상한이 100%를 넘는 경우도 생깁니다.

Wilson 점수 구간은 대칭을 가정하는 대신 점수 검정을 역으로 풀어 이 문제를 해결합니다.

$$\frac{\hat{p} + \dfrac{z^{*2}}{2n} \pm z^{*}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \dfrac{z^{*2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{*2}}{n}}$$

Wilson 경계는 항상 0~100% 안에 머물고 구간이 비대칭이며, 작은 $n$에서도 포함확률이 목표 신뢰수준에 가깝게 유지됩니다. 최근에는 Wilson을 기본으로 삼는 통계학자가 많으며, 이 계산기는 두 구간을 나란히 비교할 수 있도록 함께 제시합니다.

정규근사는 언제 유효한가

Wald 구간은 다음 두 조건이 모두 성립할 때에만 믿을 수 있다는 경험 규칙이 널리 쓰입니다.

$$n\hat{p} \geq 5 \quad \text{그리고} \quad n(1 - \hat{p}) \geq 5$$

(교재에 따라 10). 성공 횟수가 매우 적거나 비율이 0 또는 1에 가깝거나 표본이 작다면 Wilson 점수 구간이나 정확한 Clopper–Pearson 구간으로 바꿉니다.

해석

95% 신뢰구간은 참 비율이 특정 범위 안에 있을 확률이 95%라는 뜻이 아닙니다. 참 모비율은 고정된 미지의 상수이며, 확률적으로 변하는 대상은 표본에서 만들어지는 구간입니다.

정확한 의미는 절차에 대한 진술입니다. 같은 표본 추출과 구간 구성을 여러 번 반복하면, 그 결과로 얻는 구간의 약 95%가 참 비율을 포함합니다. 개별 구간은 그것을 포함하거나 포함하지 않을 뿐입니다.

여론조사와 오차범위

여론조사 보도는 대개 하나의 “오차범위 ±3%포인트”를 제시합니다. 이 숫자가 바로 95% 신뢰수준에서의 $E = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$입니다. $\hat{p}(1-\hat{p})$는 $\hat{p} = 0.5$에서 최대가 되므로, 조사기관은 흔히 $\hat{p} = 0.5$ 기준의 값을 제시해 하나의 숫자로 모든 문항을 보수적으로 포괄합니다.

오차범위는 $\sqrt{n}$에 반비례해 줄어들며, 절반으로 줄이려면 표본을 4배로 늘려야 합니다.

표본 크기	오차범위(95%, $\hat{p} = 0.5$)
n = 100	±9.8
n = 400	±4.9
n = 1000	±3.1
n = 1600	±2.5

계산 예시: 지지율 조사

유권자 500명 조사에서 320명이 어떤 제안에 찬성했습니다.

표본비율: $\hat{p} = 320 / 500 = 0.64$

표준오차: $SE = \sqrt{0.64 \times 0.36 / 500} \approx 0.0215$

95% 오차범위: $E = 1.96 \times 0.0215 \approx 0.0421$

Wald 구간:

$$0.64 \pm 0.0421 = [0.5979,\ 0.6821] = [59.79\%,\ 68.21\%]$$

같은 데이터의 Wilson 점수 구간은 $[59.70\%,\ 68.09\%]$로, $n = 500$이 크고 $\hat{p} = 0.64$가 양 끝에서 멀기 때문에 여기서는 거의 같습니다. 두 구간의 차이는 표본이 작거나 비율이 0 또는 1에 가까울 때 가장 커집니다.

해석: “이 500명 표본을 근거로, 전체 유권자의 약 60%~68%가 제안에 찬성한다고 95% 신뢰도로 추정할 수 있다.”

자주 묻는 질문 (FAQ)

Wald 구간과 Wilson 구간의 차이는 무엇인가요?

Wald 구간(p̂ ± z*·√(p̂(1−p̂)/n))은 교과서에 나오는 식으로, p̂를 중심으로 대칭이며 계산이 간단합니다. 표본이 크고 p̂가 0.5 부근일 때는 잘 맞지만, 표본이 작거나 비율이 0 또는 1에 가까우면 성능이 떨어져 하한이 0% 미만이거나 상한이 100%를 넘을 수도 있습니다. Wilson 점수 구간은 점수 검정을 역으로 풀어 같은 문제를 해결합니다. 항상 0~100% 안에 머물고 비대칭이며, 작은 n에서도 실제 포함확률이 명시된 수준에 가깝게 유지됩니다. 최근에는 Wilson을 기본으로 권장하는 통계학자가 많습니다. 이 계산기는 두 구간을 함께 보여 비교할 수 있게 합니다.

여론조사의 “오차범위”와 어떻게 연결되나요?

여론조사가 “지지율 52%, 오차범위 ±3%포인트”라고 보도할 때 그 ±3이 바로 95% 신뢰수준에서의 오차범위 E = z*·√(p̂(1−p̂)/n)입니다. p̂(1−p̂)는 p̂ = 0.5에서 최대가 되므로, 조사기관은 보통 p̂ = 0.5 기준의 값을 제시해 하나의 숫자로 조사 안의 모든 문항을 보수적으로 포괄합니다. 보도된 비율을 성공 횟수와 표본 크기로 입력하면 구간을 재현할 수 있습니다.

정규근사는 언제 유효한가요?

Wald 구간은 이항분포의 정규근사에 의존하며, n·p̂와 n·(1 − p̂)가 모두 5 이상일 때(교과서에 따라 10 이상) 타당합니다. 성공 횟수가 적거나 비율이 0 또는 1에 가까우면 근사가 무너져 Wald 구간을 신뢰하기 어렵습니다. 바로 이런 상황에서 Wilson 점수 구간(또는 정확한 Clopper–Pearson 구간)을 사용해야 합니다.

얻은 구간은 어떻게 해석해야 하나요?

95% 신뢰구간이 59.79%~68.21%라고 해서 참 비율이 그 범위에 있을 확률이 95%라는 뜻은 아닙니다. 참 비율은 고정된 값입니다. 이는 이 구간을 만드는 절차를 반복하면 표본을 다시 뽑을 때마다 얻는 구간의 95%가 참 모비율을 포함한다는 의미입니다. 실무에서는 참 비율이 제시된 경계 안에 있다고 어느 정도 신뢰할 수 있으며, 구간이 넓을수록 표본이 작거나 신뢰수준이 더 엄격함을 뜻합니다.