최종 업데이트: 2026-05-18

직각이등변삼각형(45-45-90) 정의

직각이등변삼각형은 두 각이 각각 45°이고 나머지 한 각이 90°인 삼각형입니다. 두 직각변의 길이가 같으므로 이등변삼각형이며, 직각을 가지므로 직각삼각형이기도 합니다. 세 변의 비는 $1 : 1 : \sqrt{2}$로, 30-60-90 삼각형의 비($1 : \sqrt{3} : 2$)와 함께 기하학의 두 가지 기본 특수 비율 중 하나입니다.

정사각형과의 관계

한 변의 길이가 $l$인 정사각형을 대각선으로 자르면 두 개의 합동인 직각이등변삼각형이 만들어집니다. 각 직각변은 정사각형의 변과 같고, 빗변은 정사각형의 대각선과 같습니다. 기하학에서 $\sqrt{2}$가 자주 등장하는 이유가 바로 여기에 있습니다. $\sqrt{2}$는 정사각형의 '대각선 ÷ 변'의 비이기 때문입니다.

공식

직각변의 길이를 $l$로 놓겠습니다.

구하는 양	공식
빗변 $c$	$l\sqrt{2}$
넓이 $S$	$l^2 / 2$
둘레 $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

주어진 값	직각변 $l$	빗변 $c$	넓이 $S$
직각변 $l$ 로부터	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
빗변 $c$ 로부터	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
넓이 $S$ 로부터	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

계산 예시

$l = 5$일 때:

$c = 5\sqrt{2} \approx 7.071, \quad S = \frac{25}{2} = 12.5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17.07$

공식 유도

빗변: 같은 길이의 두 직각변 $l$에 피타고라스 정리를 적용합니다.

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

넓이: 밑변과 높이 모두 $l$이므로 (두 직각변이 서로 수직):

$S = \frac{1}{2} \times l \times l = \frac{l^2}{2}$

빗변으로부터 역산: $l = c/\sqrt{2}$를 대입하면 $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$.

넓이로부터 역산: $S = l^2/2$를 풀면 $l = \sqrt{2S}$, 이어서 $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

추가 성질

• 이 삼각형은 이등변삼각형이면서 동시에 직각삼각형인 유일한 삼각형입니다.
• 외접원 반지름: $R = c/2$ (직각은 지름에 대한 원주각이므로).
• 내접원 반지름: $r = l(2-\sqrt{2})/2$.

자주 묻는 질문 (FAQ)

45-45-90 삼각형의 변의 비율은 얼마입니까?

직각이등변삼각형은 두 직각변이 서로 같고 빗변이 하나 있습니다. 변의 비는 직각변 : 직각변 : 빗변 = 1 : 1 : √2입니다. 각 직각변의 길이가 l이면 빗변은 l√2 ≈ 1.414l입니다. 예를 들어 직각변이 5이면 빗변은 5√2 ≈ 7.071입니다. 이 삼각형은 정사각형의 대각선을 따라 자르면 자연스럽게 나타납니다. 한 변이 l인 정사각형을 대각선으로 자르면 두 개의 합동인 직각이등변삼각형이 됩니다.

직각이등변삼각형에서 직각변으로 빗변을 구하려면 어떻게 합니까?

피타고라스 정리를 적용합니다. c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2입니다. l = 5일 때 c = 5√2 ≈ 7.071입니다. 넓이는 S = l²/2 (밑변과 높이가 모두 l)이고, 둘레는 P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3.414l입니다.

빗변을 알고 있을 때 직각이등변삼각형의 직각변을 어떻게 구합니까?

l√2 = c를 정리하면 l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2입니다. c = 10일 때 l = 10 ÷ √2 ≈ 7.071입니다. 넓이는 S = c²/4 (S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4)이고, 둘레는 P = c(1 + √2) ≈ 2.414c입니다.