최종 업데이트: 2026-07-02

부분분수 분해

부분분수 분해는 하나의 유리함수를, 원래 분모의 인수를 분모로 하는 더 간단한 분수들의 합으로 다시 쓰는 것입니다. 분자의 차수가 분모보다 낮은 진분수이면서 분모가 서로 다른 두 일차 인수를 가지는 경우, 분해는 다음 형태가 됩니다.

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

이렇게 나누면 적분, 역라플라스 변환, 급수 전개가 훨씬 쉬워집니다.

가림법(헤비사이드 가림법)

$A$ 와 $B$ 를 가장 빨리 구하는 방법이 가림법입니다.

1단계 — A 구하기. 분모의 인수 $(x - r_1)$ 을 가리고 남은 식을 $x = r_1$ 에서 계산합니다.

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

2단계 — B 구하기. 인수 $(x - r_2)$ 를 가리고 나머지를 $x = r_2$ 에서 계산합니다.

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

가림법이 성립하는 이유

분해의 양변에 $(x - r_1)$ 을 곱합니다.

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

여기서 $x = r_1$ 을 대입하면 두 번째 항은 인수 $(x - r_1)$ 을 포함하므로 0이 되어, 곧바로 $A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$ 가 남습니다. $(x - r_2)$ 에 같은 논리를 적용하면 $B$ 가 분리됩니다.

풀이 예제

$\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$ 를 분해합니다.

여기서 $p = 3$, $q = -1$, $r_1 = 1$, $r_2 = -2$ 입니다.

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

따라서

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

검산: 공통분모로 합치면,

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

유용한 확인법

분자 $p\,x + q$ 에 대해 두 계수는 항상 $A + B = p$ 를 만족합니다. 다시 합친 분자의 최고차 항을 맞추면 $A$ 와 $B$ 의 합이 분자의 $x$ 계수와 같아지므로, 답을 빠르게 점검할 수 있습니다.

서로 다른 근이 필요한 이유

$A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ 형태는 서로 다른 두 일차 인수를 전제로 합니다.

분모	올바른 형태
$(x - r_1)(x - r_2)$, 상이	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$, 중근	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

가림법 공식은 $r_1 - r_2$ 로 나누는데 근이 같으면 0이 됩니다. 중인수는 두 번째 형태가 필요하며 이 계산기의 범위를 벗어납니다.

적분에서의 활용

가장 큰 이점은 미적분에 있습니다. 유리함수는 직접 적분하기 번거롭지만, 각 부분분수는 즉시 적분됩니다.

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

따라서 분해한 뒤에는,

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

응용

• 미적분에서 유리함수의 적분.
• 미분방정식과 제어이론에서의 역라플라스 변환.
• 조합론에서의 급수 전개와 생성함수.
• 전달함수를 1차 항으로 분리하는 신호 처리.

자주 묻는 질문 (FAQ)

부분분수 분해란 무엇인가요?

부분분수 분해는 하나의 유리함수를, 원래 분모의 인수를 분모로 하는 더 간단한 분수들의 합으로 다시 쓰는 것입니다. 서로 다른 두 일차 인수를 가진 진분수 (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) 의 경우 분해는 A/(x − r₁) + B/(x − r₂) 입니다. 이렇게 나누면 적분, 역라플라스 변환, 급수 전개가 훨씬 쉬워집니다.

가림법으로 A와 B를 어떻게 구하나요?

A를 구하려면 분모의 인수 (x − r₁) 을 가리고 남은 식을 x = r₁ 에서 계산합니다. 두 번째 항 A·(x − r₁)/(x − r₁) 은 자신의 인수를 가릴 때만 남고 나머지는 그 값에서 0이 되므로, A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂) 를 바로 얻습니다. 대칭적으로 B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁) 입니다. 이 방법은 연립방정식을 세워 풀 필요가 없습니다.

왜 두 근이 서로 달라야 하나요?

A/(x − r₁) + B/(x − r₂) 형태는 서로 다른 두 일차 인수를 전제로 합니다. r₁ = r₂ 이면 분모는 중인수 (x − r₁)² 이 되고, 올바른 분해는 A/(x − r₁) + B/(x − r₁)² 형태를 사용합니다. 가림법 공식은 (r₁ − r₂) 로 나누는데 근이 같으면 0이 되므로, 이 계산기는 서로 다른 근을 요구합니다.

적분에서는 어떻게 사용하나요?

유리함수는 직접 적분하기 어렵지만 각 부분분수 A/(x − r) 는 곧바로 A·ln|x − r| + C 로 적분됩니다. 따라서 (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) 를 A/(x − r₁) + B/(x − r₂) 로 분해하면 적분은 A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C 가 됩니다. 이는 미적분에서 유리함수를 적분할 때의 표준적인 첫 단계입니다.