최종 업데이트: 2026-05-20

조건부 확률의 개념

조건부 확률은 "사건 B가 발생했음을 알고 있을 때, 사건 A가 일어날 가능성은 얼마인가?"라는 질문에 답합니다. P(A|B)로 표기하며, 전체 표본 공간에서 B가 참인 결과로 범위를 좁힌 뒤 그 안에서 A가 차지하는 비율을 구합니다. 이 계산기는 세 가지 입력값—사전 확률 P(A), 우도 P(B|A), 위양성률 P(B|¬A)—을 받아 베이즈 정리로 사후 확률 P(A|B)를 계산하고, 결합 확률 P(A∩B)와 B의 전체 확률 P(B)도 함께 제공합니다.

베이즈 정리 단계별 계산

베이즈 정리는 두 가지 증거 경로를 통해 사후 확률을 사전 확률과 연결합니다.

1단계 — 결합 확률

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

A가 참이면서 동시에 증거 B가 나타날 확률입니다.

2단계 — B의 전체 확률

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + (1 - P(A)) \cdot P(B|\lnot A)$

B는 두 가지 경로로 발생할 수 있습니다. A가 참일 때(사전 확률로 가중)와 A가 거짓일 때(위양성률로 가중)를 합산하면 B가 관찰될 전체 확률을 얻습니다.

3단계 — 베이즈 정리로 사후 확률 계산

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + (1-P(A)) \cdot P(B|\lnot A)}$

사후 확률은 B가 발생한 모든 경우 중 A도 함께 발생한 비율입니다.

공식이 성립하는 이유

직관적으로 이해하면 이렇습니다. B가 발생하는 상황 전체에는 진양성(A가 참이어서 B가 나온 경우)과 위양성(A가 거짓인데도 B가 나온 경우)이 섞여 있습니다. 베이즈 정리는 두 집단을 정확히 계산합니다. 위양성 집단이 클수록—P(B|¬A)가 높거나 ¬A가 흔할수록—진양성 신호가 희석되어 사후 확률이 낮아집니다.

실습 예제: 의료 진단의 역설

어떤 질환의 유병률이 1%라고 가정합니다. 진단 검사의 민감도는 99%(P(B|A) = 0.99)이고 위양성률은 5%(P(B|¬A) = 0.05)입니다. 검사 결과가 양성으로 나왔을 때, 실제로 질환을 가질 확률은 얼마일까요?

1단계: P(A∩B) = 0.01 × 0.99 = 0.0099

2단계: P(B) = 0.01 × 0.99 + 0.99 × 0.05 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594

3단계: P(A|B) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 16.7%

민감도 99%의 검사에서 양성 판정을 받았음에도 실제 질환을 가질 확률은 약 6명 중 1명 수준에 불과합니다. 건강한 99%가 만들어 내는 위양성(약 5%)이 질환을 가진 1%의 진양성(약 1%)을 압도하기 때문입니다. 이 반직관적인 결과는 임상에서 확진 검사를 반드시 시행하는 이유이기도 합니다.

기저율 오류

기저율 오류는 증거를 평가할 때 사전 확률을 무시하는 실수입니다. 위 예제에서 "검사 정확도가 99%니까 거의 확실히 질환이 있다"고 결론 내리는 것이 전형적인 기저율 오류입니다. 결정적인 정보, 즉 질환이 희귀하다는 사실을 놓친 것입니다. 사건이 희귀할수록 양성 판정이 신뢰성을 갖추려면 위양성률이 매우 낮아야 합니다. P(A)를 낮게 설정할수록 검사 정확도가 높더라도 사후 확률이 급격히 하락하는 경향이 나타납니다.

독립: 증거가 아무 정보도 주지 않을 때

P(B|A)와 P(B|¬A)가 같다면 증거 B는 A와 통계적으로 독립입니다. B를 관찰해도 A의 발생 여부에 대한 새로운 정보를 얻지 못한다는 뜻입니다. 이 경우 P(B)는 두 우도의 공통값과 같아지고, 베이즈 정리는 P(A|B) = P(A)로 단순화됩니다. 예를 들어 P(B|A) = P(B|¬A) = 50%로 설정하면, P(A)의 값과 관계없이 사후 확률이 사전 확률과 동일하게 산출됩니다.