최종 업데이트: 2026-05-18

정의

토러스(원환체)는 원을 그 평면 밖에 있는 축을 중심으로 회전시켜 만든 입체도형입니다. 도넛, 타이어 튜브, O링, 구명 튜브 등 일상에서 흔히 볼 수 있습니다. 토러스는 두 반지름으로 완전히 정의됩니다. 주반지름 R(토러스 중심축에서 관의 중심까지의 거리)과 부반지름 r(관 자체의 반지름)입니다.

공식

두 공식은 모두 파푸스의 무게중심 정리에서 유도됩니다. 단면이 외부 축을 중심으로 회전할 때, 부피(또는 표면적)는 단면 면적(또는 둘레)과 무게중심이 이동한 거리의 곱과 같습니다.

부피 — 원형 단면 $\pi r^2$가 거리 $2\pi R$을 이동:

$V = 2\pi^2 R r^2$

표면적 — 원형 둘레 $2\pi r$가 거리 $2\pi R$을 이동:

$A = 4\pi^2 R r$

토러스의 종류

조건	종류	특징
R > r	링 토러스	중앙에 구멍이 있는 일반적인 도넛 형태
R = r	뿔 모양 토러스	안쪽 구멍이 한 점으로 수축
R < r	방추형 토러스	표면이 자기 교차 (물리적 실현 불가)

계산 예제

문제: 주반지름 20 mm, 부반지름 3 mm인 고무 O링의 부피와 표면적을 구하시오.

R = 0.020 m, r = 0.003 m:

$V = 2\pi^2 \times 0.020 \times 0.003^2 \approx 3.55 \text{ cm}^3$

$A = 4\pi^2 \times 0.020 \times 0.003 \approx 23.69 \text{ cm}^2$

자전거 타이어 튜브(R ≈ 30 cm, r ≈ 2 cm)라면 $V \approx 2.37 \text{ L}$로 추정할 수 있습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

원환체의 부피를 구하는 공식은 무엇입니까?

원환체의 부피는 V = 2π²Rr²로 구합니다. R은 주반지름(원환체의 중심축에서 튜브 중심까지의 거리), r은 부반지름(튜브 자체의 반지름)입니다. 예를 들어 R = 10 cm, r = 3 cm인 원환체의 부피는 V = 2 × π² × 0.10 × 0.03² ≈ 1 777 cm³입니다. 이 공식은 파푸스의 정리에서 도출됩니다. 즉 원형 단면의 넓이(πr²)에 그 무게중심이 이동하는 거리(2πR)를 곱한 값과 같습니다.

원환체의 주반지름과 부반지름의 차이는 무엇입니까?

주반지름 R은 원환체의 중심축에서 튜브의 중심까지 측정한 거리로, 링 전체의 크기를 결정합니다. 부반지름 r은 튜브 자체의 반지름으로, 링의 굵기를 결정합니다. 일반적인 링형 원환체(링 토러스)에서는 R이 r보다 커야 합니다. R = r이면 내부 구멍이 없어지고 뿔 모양 토러스(horn torus)가 되며, R < r이면 표면이 자기 자신과 교차하는 방추형 토러스(spindle torus)가 됩니다.

링 토러스란 무엇입니까?

링 토러스는 R > r인 친숙한 도넛 형태로, 중심에 구멍이 있는 원환체입니다. 수학과 공학에서 가장 흔한 형태로, O링, 구명 튜브, 타이어 내부 튜브 등에 사용됩니다. R = r이 되면 내부 구멍이 한 점으로 줄어들어 뿔 모양 토러스가 됩니다. R < r이 되면 중심부에서 표면이 자기 교차하여 방추형 토러스가 됩니다. 이 계산기는 세 가지 유형 모두에 대해 부피와 표면적을 올바르게 계산하지만, 자기 교차 없이 물리적으로 구현 가능한 것은 링 토러스뿐입니다.