최종 업데이트: 2026-07-02

초점과 준선으로 정의하는 포물선

포물선은 한 정점(초점)까지의 거리와 한 정직선(준선)까지의 거리가 같은 모든 점의 모임입니다. 이 하나의 균형 조건이 포물선의 모양을 결정합니다. 곡선이 되돌아가는 점인 꼭짓점은 초점과 준선의 정확히 중간에 위치합니다.

세로 방향(위 또는 아래)으로 열리며 꼭짓점이 $(h, k)$ 인 포물선의 표준형은 다음과 같습니다.

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

여기서 $p$ 는 초점 거리, 즉 꼭짓점에서 초점까지의 부호 있는 거리입니다. 이 값으로부터 포물선의 모든 특징이 정해집니다.

$\text{초점} = (h,\ k + p) \qquad \text{준선: } y = k - p \qquad \text{축: } x = h$

이 계산기는 꼭짓점과 함께 $p$ 또는 최고차항 계수 $a$ 를 입력받아 초점, 준선, 대칭축, 초점 거리, 통경을 풀이 과정과 함께 구합니다.

초점 거리, 초점, 준선

꼭짓점이 초점과 준선의 중간에 있으므로, 초점과 준선은 꼭짓점에서 각각 $|p|$ 만큼 반대쪽으로 떨어져 있습니다. 축 $x = h$ 를 따라 꼭짓점에서 $p$ 만큼 나아가면 초점에, 반대 방향으로 $p$ 만큼 나아가면 준선에 도달합니다.

$\text{초점} = (h,\ k + p) \qquad \text{준선: } y = k - p$

$p$ 의 부호가 포물선이 열리는 방향을 정합니다. $p > 0$ 이면 위로 열리고 초점은 꼭짓점 위에, $p < 0$ 이면 아래로 열리고 초점은 아래에 있습니다.

통경

통경은 초점을 지나 대칭축에 수직인 현, 즉 초점 높이에서 잰 포물선의 «폭»입니다. 그 길이는 다음과 같습니다.

$L = |4p|$

통경의 양 끝점은 $(h - 2p,\ k + p)$ 와 $(h + 2p,\ k + p)$ 로, 초점 높이에 점 두 개를 빠르게 찍는 데 편리합니다.

계수형

많은 교과서는 세로 방향 포물선을 $y = a(x - h)^2 + k$ 로 씁니다. 이는 같은 곡선을 $y$ 에 대해 푼 것일 뿐입니다. 표준형과 비교하면 최고차항 계수 $a$ 와 초점 거리 $p$ 의 관계를 알 수 있습니다.

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

$|a|$ 가 클수록 초점 거리가 짧은 좁은 포물선이 되고, $|a|$ 가 작을수록 초점이 꼭짓점에서 먼 넓은 포물선이 됩니다. $a$ 와 $p$ 는 항상 같은 부호이므로 둘 중 어느 것으로도 열리는 방향을 알 수 있습니다.

예제 풀이

문제: $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$ 의 초점, 준선, 대칭축, 통경을 구하시오.

1단계 — 꼭짓점 읽기. $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ 와 비교하면 $h = 1$, $k = -2$ 이므로 꼭짓점은 $(1, -2)$ 입니다.

2단계 — 초점 거리 구하기. 오른쪽 계수는 $4p = 8$ 이므로,

$p = \frac{8}{4} = 2$

3단계 — 초점 구하기. 꼭짓점에서 축을 따라 $p = 2$ 만큼 위로 이동합니다.

$\text{초점} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

4단계 — 준선 구하기. 반대 방향으로 $p = 2$ 만큼 이동합니다.

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

5단계 — 축과 통경.

$\text{축: } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

따라서 이 포물선은 위로 열리며 초점 $(1, 0)$, 준선 $y = -4$, 축 $x = 1$, 통경 길이 $8$ 입니다. 계수형에서는 $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$ 이므로 같은 곡선을 $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$ 로 쓸 수 있습니다.

그래프 읽기

그래프는 꼭짓점 $V$, 초점 $F$, 준선 $d$ 를 함께 담아 정의의 균형을 눈으로 볼 수 있게 합니다. 곡선 위의 어떤 점을 골라도, 그 점에서 준선까지의 거리와 초점까지의 거리가 같습니다. 꼭짓점은 항상 $F$ 와 $d$ 의 중간에 놓이며, 그림 전체는 축 $x = h$ 에 대해 좌우 대칭입니다.

참고와 적용 범위

이 계산기는 위 또는 아래로 열리는 $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ 형태의 세로 방향 포물선을 다룹니다. 좌우로 열리는 가로 방향 포물선 $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ 는 $x$ 와 $y$ 의 역할이 바뀝니다. 축이 수평이고, 초점은 $(h + p, k)$, 준선은 수직선 $x = h - p$ 입니다. 초점 거리 $p$ 는 0이 아니어야 합니다. $p = 0$ 에서는 곡선이 퇴화하여 포물선이 존재하지 않습니다.