최종 업데이트: 2026-07-01

두 벡터가 이루는 각도

시작점을 공유하는 두 벡터 사이에는 각이 생깁니다. 이 각은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하는지를 나타냅니다. 각이 작으면 거의 같은 방향, 직각이면 수직, 평각이면 반대 방향입니다. 내적을 이용하면 이 기하학적 개념을 성분에서 곧바로 계산할 수 있는 공식으로 바꿀 수 있습니다.

공식

두 벡터의 내적은 두 벡터가 이루는 각과 다음 관계로 연결됩니다.

각에 대해 풀면 실제로 사용하는 공식이 나옵니다.

안쪽의 분수가 각의 코사인입니다. 크기로 나누면 길이가 사라지므로 방향만 영향을 줍니다. 어느 한 벡터에 상수를 곱해도 각은 변하지 않습니다.

구성 요소

• 내적: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.
• 크기: $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$, $\mathbf{b}$ 도 마찬가지.
• 코사인: 내적을 크기의 곱으로 나눕니다. 결과는 항상 −1과 1 사이에 놓입니다.
• 각: 역코사인을 취합니다. 답은 0°와 180° 사이가 됩니다.

풀이 예제

a = (1, 0, 0), b = (1, 1, 0) 이라고 하자.

내적은

크기는

따라서 각의 코사인은

각은

직교 판정

직각은 가장 알아보기 쉬운 경우입니다. 내적이 정확히 0이면 코사인도 0이고 각은 90°가 되어, 두 벡터는 수직(직교)입니다. a = (1, 0), b = (0, 1) 인 경우 내적은 $(1)(0) + (0)(1) = 0$ 이므로 두 벡터의 각은 90°입니다. $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ 인지 확인하는 것이 두 방향이 직각인지 점검하는 표준적인 방법입니다.

같은 방향과 반대 방향

범위의 양 끝을 정하는 두 가지 기준 경우가 있습니다.

• 두 벡터가 같은 방향을 향하면 코사인은 1, 각은 0°.
• 반대 방향을 향하면 코사인은 −1, 각은 180°.

그 밖의 모든 쌍은 이 두 극단 사이에 놓이며, 그래서 두 벡터가 이루는 각은 항상 0°에서 180° 사이의 구간에 있습니다.

도와 라디안

같은 각을 어느 단위로도 읽을 수 있습니다. 도는 한 바퀴를 360등분하고, 라디안은 단위원 위의 호의 길이로 각을 재며 한 바퀴가 $2\pi$ 입니다. 환산은 $180° = \pi\ \text{rad}$ 이므로 45°는 $\pi/4$, 90°는 $\pi/2$ 입니다. 결과의 단위를 전환하여 문제에 맞는 형태로 확인하세요.

2차원과 3차원

공식은 2차원과 3차원에서 동일하며 바뀌는 것은 성분 곱의 개수뿐입니다. 평면 2차원 문제에서는 두 z성분을 모두 0으로 두면 내적, 크기, 각이 마치 z 항이 처음부터 없었던 것과 똑같이 나옵니다.

활용되는 곳

• 물리: 힘이 한 일은 힘과 변위가 이루는 각에 의존합니다. $W = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.
• 컴퓨터 그래픽스: 표면 법선과 빛 방향 사이의 각이 표면이 얼마나 밝게 비치는지를 정합니다.
• 항법과 기하: 두 방향의 방위차를 구하거나, 변 벡터로부터 도형의 꼭짓점 각을 구합니다.
• 기계 학습: 특징 벡터 사이의 코사인 유사도가 바로 여기서 계산하는 각의 코사인입니다.