이차방정식 풀이기

최종 업데이트: 2026-05-13

이차방정식이란?

이차방정식은 최고차항이 $x^2$인 방정식입니다. 표준형은 다음과 같습니다.

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

여기서 $a$, $b$, $c$는 실수 계수이며, $a \neq 0$ 조건이 필수입니다. $a = 0$이면 일차방정식이 됩니다.

근의 공식

모든 이차방정식의 근은 다음 근의 공식으로 구할 수 있습니다.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\pm$ 부호에서 두 근이 생성됩니다.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

판별식

근호 안의 식 $D = b^2 - 4ac$를 판별식이라고 합니다. 판별식의 부호에 따라 근의 성질이 결정됩니다.

판별식	근의 성질
$D > 0$	서로 다른 두 실근
$D = 0$	중근(하나의 실근)
$D < 0$	두 켤레복소수 근

중근의 경우 (D = 0)

판별식이 0이면 두 근이 같아집니다.

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

이 값은 해당 이차함수 포물선의 꼭짓점의 $x$ 좌표와 일치합니다.

복소수 근의 경우 (D < 0)

판별식이 음수이면 $\sqrt{D}$를 실수 범위에서 정의할 수 없습니다. 이때 근은 복소수가 됩니다.

$x = \alpha \pm \beta i$

여기서

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-D}}{2|a|}$

$\alpha$가 실수부, $\beta$가 허수부입니다. 실수 계수를 가진 방정식에서 복소수 근은 항상 켤레쌍으로 나타납니다.

계산기 사용법

계수 $a$, $b$, $c$를 입력하면 판별식과 근이 자동으로 계산됩니다.

• 판별식 $\geq 0$: 실근 $x_1$, $x_2$가 '실근' 섹션에 표시됩니다.
• 판별식 $< 0$: 실수부 $\alpha$와 허수부 $\beta$가 '복소근' 섹션에 표시됩니다.

예시: $x^2 - 3x + 2 = 0$

$a = 1$, $b = -3$, $c = 2$로 놓으면

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

포물선과의 관계

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 근은 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 포물선과 $x$축의 교점의 $x$ 좌표에 해당합니다.

• $D > 0$: 포물선이 $x$축과 두 점에서 만납니다.
• $D = 0$: 포물선이 $x$축에 접합니다(꼭짓점이 $x$축 위에 있음).
• $D < 0$: 포물선이 $x$축과 만나지 않습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

근의 공식이란 무엇인가요?

ax² + bx + c = 0의 근은 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)입니다. ±에서 두 근이 나오며, + 기호를 사용하는 것을 x₁, − 기호를 사용하는 것을 x₂라고 합니다. 이 근들은 포물선 y = ax² + bx + c와 x축의 교점입니다.

판별식은 무엇을 알려주나요?

판별식 D = b² − 4ac는 근의 성질을 결정합니다. D > 0이면 서로 다른 두 실근이 존재합니다. D = 0이면 중근이 하나 존재합니다(x₁ = x₂ = −b ÷ 2a). D < 0이면 실근은 없고 켤레복소수 두 근이 존재합니다.

D < 0일 때 복소근은 어떻게 되나요?

판별식이 음수일 때 근은 켤레복소수 x = α ± βi 형태를 가집니다. α = −b ÷ (2a)가 실수부이고 β = √(−D) ÷ (2|a|)가 허수부입니다. 실수 계수를 가진 방정식에서 복소근은 항상 켤레쌍으로 나타납니다.