정다각형 계산기

최종 업데이트: 2026-05-18

정다각형의 정의

정다각형(正多角形)은 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형입니다. 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 대표적인 예입니다. 변의 수 n과 한 변의 길이 a만 알면 둘레, 넓이, 내각, 외각, 내접원 반지름(아포텀), 외접원 반지름을 모두 결정할 수 있습니다.

기하학적 원리

내각의 합과 내각

n각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 (n − 2)개의 삼각형으로 분할됩니다. 삼각형 한 개의 내각의 합은 180°이므로, n각형 전체의 내각의 합은 (n − 2) × 180°가 됩니다. 정다각형에서는 모든 내각이 같으므로 이를 n으로 나누면 한 내각의 크기를 구할 수 있습니다.

아포텀과 넓이

중심 O에서 각 변에 수선을 내리면 정다각형은 n개의 합동인 이등변삼각형으로 분할됩니다. 각 삼각형의 높이에 해당하는 수선의 길이가 내접원 반지름(아포텀) r입니다. 각 삼각형의 넓이는 ½ × a × r이므로, 전체 넓이는 ½ × n × a × r = ½ × 둘레 × r이 됩니다. 이 수선은 직각삼각형을 이루며, 변의 절반 a/2와 중심각 π/n을 이용하면 r = a / (2 tan(π/n))으로 유도됩니다.

공식

둘레 — 변의 수와 변의 길이의 곱:

$P = n \cdot a$

내각 — 각 꼭짓점에서의 내부 각도:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

외각 — 내각의 보각이며, 합은 n에 관계없이 항상 360°:

$\beta = \frac{360°}{n}$

내접원 반지름(아포텀) — 중심에서 각 변의 중점까지의 수직 거리:

$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$

외접원 반지름 — 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리:

$R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$

넓이 — 아포텀을 이용한 분할 삼각형의 합:

$A = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\pi/n)}$

변의 수에 따른 내각

변의 수	이름	내각
3	정삼각형	60°
4	정사각형	90°
5	정오각형	108°
6	정육각형	120°
8	정팔각형	135°
12	정십이각형	150°

계산 예제

문제: 한 변이 8 cm인 정육각형 타일의 아포텀, 외접원 반지름, 넓이를 구하시오.

n = 6, a = 8 cm:

$r = \frac{8}{2 \tan(30°)} \approx 6.928 \text{ cm}$

$R = \frac{8}{2 \sin(30°)} = 8 \text{ cm}$

$A = \frac{6 \times 64}{4 \tan(30°)} \approx 166.3 \text{ cm}^2$

정육각형에서는 외접원 반지름이 한 변의 길이와 같다($R = a$)는 기하학적 성질이 있습니다. 이는 정육각형이 6개의 정삼각형으로 정확히 분할될 수 있다는 사실에서 비롯됩니다.

특수 정다각형

변의 수가 늘어날수록 내각은 180°에 수렴하고, 정다각형의 형태는 점차 원에 가까워집니다. 정삼각형(n = 3)은 내각이 60°로 가장 작으며, 정삼각형·정사각형·정육각형만이 평면을 간극 없이 덮는 정규 타일링(정다각형 테셀레이션)을 구성합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

정다각형의 넓이 공식은 무엇입니까?

변의 수가 n이고 변의 길이가 a인 정다각형의 넓이는 A = (n·a²) / (4·tan(π/n))으로 구합니다. 예를 들어 변의 길이가 10 cm인 정육각형(n=6)이라면 A = (6 × 100) / (4 × tan(30°)) = 600 / (4 × 0.5774) ≈ 259.8 cm²입니다. 아포텀(내접원 반지름)을 이용한 동치 공식으로는 A = ½ × 둘레 × 아포텀 = ½ × n·a · r도 자주 사용됩니다.

정다각형의 내각은 어떻게 구합니까?

n각형의 내각은 α = (n − 2) × 180° / n으로 계산합니다. 정삼각형(n=3)은 60°, 정사각형(n=4)은 90°, 정오각형(n=5)은 108°, 정육각형(n=6)은 120°입니다. 내각의 보각인 외각은 항상 360°/n이 됩니다. 모든 내각의 합은 (n−2) × 180°입니다.

정다각형의 아포텀이란 무엇입니까?

아포텀(내접원 반지름이라고도 합니다)은 다각형의 중심에서 임의의 변의 중점까지의 수직 거리입니다. 변의 길이가 a인 정n각형에서 아포텀은 r = a / (2·tan(π/n))으로 구합니다. 넓이 계산에도 활용됩니다: A = ½ × 둘레 × 아포텀. 아포텀은 내접하는 가장 큰 원의 반지름이기도 합니다. 이와 달리 외접원 반지름은 R = a / (2·sin(π/n))이며, 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리를 나타냅니다.