조합 계산기 — C(n, r)

최종 업데이트: 2026-05-18

정의

조합 $C(n, r)$은 $n$개의 서로 다른 원소 중에서 $r$개를 선택할 때 순서를 고려하지 않는 경우의 수입니다. $\{A, B\}$를 선택하는 것과 $\{B, A\}$를 선택하는 것은 같은 조합입니다.

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

이항계수(binomial coefficient)라고도 하며, "$n$에서 $r$ 선택"이라고 읽습니다.

계산 예시

표준 52장짜리 카드 덱에서 5장을 뽑는 경우의 수는?

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,47!} = 2{,}598{,}960$$

단 52장의 카드에서 약 260만 가지의 서로 다른 패가 나올 수 있습니다.

대칭성

$$C(n, r) = C(n, n - r)$$

10명 중 3명을 선택하는 것은 7명을 제외하는 것과 동일합니다. $r > n/2$일 때는 $C(n, n-r)$을 사용하면 계산이 더 간편합니다.

파스칼의 삼각형

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

이 점화식으로 파스칼의 삼각형이 만들어집니다. $n$번째 행의 각 항이 $C(n, 0), C(n, 1), \ldots, C(n, n)$에 해당합니다.

조합과 순열의 선택

상황	공식	이유
10명 중 3명 위원 선출	$C(10, 3)$	누가 선출되었는지만 중요
10명 중 금·은·동 메달 수여	$P(10, 3)$	어떤 메달인지가 순서에 따라 결정됨
로또 6개 번호 선택 (1–45)	$C(45, 6)$	어떤 번호인지만 중요
4자리 비밀번호 (중복 없음)	$P(10, 4)$	숫자 배열이 비밀번호를 결정함

같은 $n$과 $r$에 대해: $C(n, r) = P(n, r) / r!$.

주요 활용 분야

• 확률 계산: 포커 패, 로또 당첨 확률
• 팀 구성: 후보자 중에서 팀원 선발
• 품질 관리 및 통계: 모집단에서 대표 표본 추출
• 이항 분포: 이산 확률 모델의 기초

사용 안내

특수한 경우. $C(n, 0) = C(n, n) = 1$: 아무것도 선택하지 않는 방법과 전부 선택하는 방법은 각각 1가지입니다.

$r > n$은 정의되지 않습니다. 전체보다 많은 수를 선택할 수 없으므로, 계산기에서 오류를 표시합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

조합이란 무엇입니까?

조합 C(n, r)은 n개의 서로 다른 원소 중에서 r개를 선택할 때 순서를 고려하지 않는 경우의 수입니다. {A, B}를 선택하는 것과 {B, A}를 선택하는 것은 같은 조합입니다. 공식은 C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)이며, 이항계수 또는 "n 중 r 선택"이라고도 합니다.

조합과 순열은 어떻게 구분합니까?

선출된 구성원만 중요하고 순서가 상관없는 경우(위원 선출, 로또 번호, 피자 토핑 선택)에는 조합을 사용합니다. 순서가 결과를 결정하는 경우(자리 배치, 순위, 비밀번호)에는 순열을 사용합니다. 같은 n과 r에 대해 C(n, r) = P(n, r) / r!입니다.

C(n, r) 공식은 무엇입니까?

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)입니다. 분모의 r!은 선택된 r개의 원소를 배열하는 모든 순서를 나눠줌으로써 순서가 다른 같은 선택을 하나의 조합으로 처리합니다. 예시: C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10. 5개 중 2개를 선택하는 방법은 10가지입니다.