Dernière mise à jour : 2026-07-01

L’angle entre deux vecteurs

Deux vecteurs partageant un même point de départ délimitent un angle. Cet angle mesure à quel point les vecteurs sont alignés : un petit angle signifie qu’ils pointent presque dans la même direction, un angle droit qu’ils sont perpendiculaires, un angle plat qu’ils pointent en sens opposés. Le produit scalaire transforme cette idée géométrique en une formule qui se calcule directement à partir des composantes.

La formule

Le produit scalaire de deux vecteurs est relié à l’angle qu’ils forment par

En isolant l’angle, on obtient la formule de travail :

La fraction à l’intérieur est le cosinus de l’angle. Comme la division par les normes élimine les longueurs, seules les directions comptent : multiplier l’un des vecteurs par un facteur ne change pas l’angle.

Les composantes du calcul

• Produit scalaire : $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.
• Norme : $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$, et de même pour $\mathbf{b}$.
• Cosinus : on divise le produit scalaire par le produit des normes. Le résultat se situe toujours entre −1 et 1.
• Angle : on prend l’arccosinus. La réponse est comprise entre 0° et 180°.

Exemple résolu

Soient a = (1, 0, 0) et b = (1, 1, 0).

Le produit scalaire est

Les normes sont

Le cosinus de l’angle vaut donc

et l’angle

Vérification de l’orthogonalité

L’angle droit est le cas le plus facile à repérer. Lorsque le produit scalaire est exactement nul, le cosinus est nul et l’angle vaut 90° : les vecteurs sont perpendiculaires, ou orthogonaux. Pour a = (1, 0) et b = (0, 1), le produit scalaire vaut $(1)(0) + (0)(1) = 0$, donc l’angle entre eux est de 90°. C’est pourquoi tester $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ est la manière habituelle de vérifier si deux directions sont à angle droit.

Même direction et directions opposées

Deux autres cas de référence bornent l’intervalle :

• Lorsque les vecteurs pointent dans la même direction, le cosinus vaut 1 et l’angle 0°.
• Lorsqu’ils pointent en directions opposées, le cosinus vaut −1 et l’angle 180°.

Tout autre couple se situe entre ces extrêmes, ce qui explique pourquoi l’angle entre deux vecteurs appartient toujours à l’intervalle de 0° à 180°.

Degrés ou radians

Le même angle se lit dans l’une ou l’autre unité. Les degrés divisent un tour complet en 360 parts ; les radians mesurent l’angle comme une longueur d’arc sur le cercle unité, un tour complet valant $2\pi$. La conversion est $180° = \pi\ \text{rad}$, si bien que 45° vaut $\pi/4$ et 90° vaut $\pi/2$. Changez l’unité du résultat pour obtenir la forme adaptée à votre problème.

2D et 3D

La formule est identique en deux et trois dimensions — seul le nombre de produits de composantes change. Pour un problème plan en 2D, laissez les deux composantes z à 0 ; le produit scalaire, les normes et l’angle sont les mêmes que si les termes en z n’avaient jamais existé.

Où cela intervient

• Physique : le travail d’une force dépend de l’angle entre la force et le déplacement, $W = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.
• Infographie : l’angle entre la normale d’une surface et la direction de la lumière détermine la luminosité de l’éclairage.
• Navigation et géométrie : trouver l’écart de cap entre deux directions, ou l’angle d’un sommet à partir des vecteurs des arêtes.
• Apprentissage automatique : la similarité cosinus entre vecteurs de caractéristiques est exactement le cosinus de l’angle calculé ici.