Calculatrice de Suite Arithmétique

Dernière mise à jour : 2026-05-19

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur, appelée raison (d). Pour un premier terme a₁, la suite s'écrit :

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

Exemple classique : 3, 7, 11, 15, … (a₁ = 3, d = 4). La calculatrice détermine le n-ième terme (aₙ), la somme partielle (Sₙ) et la moyenne des n premiers termes.

Formule du n-ième terme

Le n-ième terme d'une suite arithmétique est :

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

Pourquoi ? De a₁ à aₙ on effectue exactement n−1 pas, en ajoutant d à chaque fois.

Exemple. La suite 5, 9, 13, 17, … a a₁ = 5 et d = 4. Son 15e terme vaut :

$$a_{15} = 5 + (15 - 1) \times 4 = 5 + 56 = 61$$

Formule de la somme et l'astuce de Gauss

La somme des n premiers termes est :

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

La légende veut que le jeune Gauss ait calculé mentalement la somme de 1 à 100 en repérant que les termes extrêmes se complètent toujours :

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

On forme ainsi 50 paires valant chacune 101, soit 50 × 101 = 5 050. En général, n/2 paires de somme a₁ + aₙ donnent Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

Sans calculer aₙ au préalable, on peut aussi utiliser :

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

Moyenne

La moyenne des n premiers termes est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme :

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

Cela traduit la symétrie de la suite : les termes sont régulièrement espacés de part et d'autre de cette valeur centrale.

Lien avec les fonctions affines

Les suites arithmétiques sont la version discrète des fonctions affines. Si l'on place le rang n en abscisse et la valeur aₙ en ordonnée, les points sont alignés sur la droite :

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

La raison d joue le rôle du coefficient directeur, et (a₁ − d) celui de l'ordonnée à l'origine. Ce parallèle est au programme de lycée et constitue un pont naturel entre les suites et les fonctions affines.

Cas particuliers

Condition	Effet
d = 0	Suite constante ; Sₙ = n·a₁
d < 0	Suite strictement décroissante
d fractionnaire	Valide ; termes décimaux régulièrement espacés
n = 1	aₙ = a₁ ; S₁ = a₁ ; moyenne = a₁

Exemple avec des valeurs concrètes

Un apprenti reçoit 1 400 € le premier mois et une revalorisation de 60 € chaque mois (a₁ = 1 400, d = 60). Quelle sera sa rémunération au 24e mois et quel sera le total perçu sur deux ans ?

• a₁ = 1 400 €, d = 60 €, n = 24
• a₂₄ = 1 400 + 23 × 60 = 1 400 + 1 380 = 2 780 €
• S₂₄ = 24 × (1 400 + 2 780) / 2 = 24 × 2 090 = 50 160 €
• Rémunération mensuelle moyenne : 2 090 €

Questions fréquentes (FAQ)

Comment calculer le n-ième terme d'une suite arithmétique ?

La formule est aₙ = a₁ + (n − 1)·d, où a₁ est le premier terme, d est la raison et n est le rang. Par exemple, dans la suite 2, 5, 8, 11, … (a₁ = 2, d = 3), le 10e terme vaut 2 + 9·3 = 29.

Quelle est la formule de la somme d'une suite arithmétique ?

La somme des n premiers termes est Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Cette formule repose sur l'astuce de Gauss : en associant le premier et le dernier terme, chaque paire vaut a₁ + aₙ, et il y a n/2 paires. On peut aussi écrire Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d)/2.

Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?

Une suite arithmétique ajoute une raison constante d à chaque étape (croissance linéaire). Une suite géométrique multiplie par une raison constante q (croissance exponentielle). Exemple : 2, 5, 8, 11 est arithmétique (d = 3) ; 2, 6, 18, 54 est géométrique (q = 3).

La raison peut-elle être négative ou fractionnaire ?

Oui, d peut être n'importe quel nombre réel. Une raison négative produit une suite décroissante (par ex. 10, 7, 4, 1, −2, …). Les raisons fractionnaires sont tout à fait valides (par ex. d = 0,5 donne 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; …). Quand d = 0, tous les termes sont égaux à a₁ et Sₙ = n·a₁.