Dernière mise à jour : 2026-05-19

Taux de variation moyen

Le taux de variation moyen d'une fonction f entre deux valeurs x₁ et x₂ mesure la variation moyenne de la sortie par unité d'entrée. Données deux points (x₁, f(x₁)) et (x₂, f(x₂)), la formule est :

$\text{Taux moyen} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$

C'est la pente de la droite sécante — la droite qui passe par les deux points sur la courbe. Contrairement à la pente d'une droite, constante en tout point, le taux de variation moyen dépend de l'intervalle choisi : une portion plus raide ou plus plate de la courbe donne un résultat différent.

Exemple résolu

Une balle est lancée verticalement. Sa hauteur (en mètres) à l'instant t (en secondes) est donnée par h(t) = −5t² + 20t. Calculer le taux de variation moyen entre t = 1 s et t = 3 s.

Étape 1 — calculer la hauteur à chaque borne :

$h(1) = -5(1)^2 + 20(1) = 15 \text{ m}$

$h(3) = -5(3)^2 + 20(3) = -45 + 60 = 15 \text{ m}$

Étape 2 — calculer Δh et Δt :

$\Delta h = 15 - 15 = 0 \text{ m}, \quad \Delta t = 3 - 1 = 2 \text{ s}$

Étape 3 — diviser :

$\text{Taux moyen} = \frac{0}{2} = 0 \text{ m/s}$

Un taux nul signifie que la balle est revenue à la même hauteur — elle est montée puis redescendue en l'espace de 2 secondes. Les vitesses instantanées à t = 1 s et à t = 3 s ne sont pas nulles (la balle était encore en mouvement), mais en moyenne, la variation nette est nulle.

Sécante et tangente

	Droite sécante	Droite tangente
Passe par	Deux points de la courbe	Un seul point de la courbe
Pente égale à	Taux de variation moyen	Taux de variation instantané
Se calcule par	Δf / Δx	Dérivée f′(x)
Nécessite le calcul infinitésimal ?	Non	Oui

Le taux de variation moyen est un concept de lycée — il ne requiert que de l'arithmétique. La pente de la tangente est la limite de la pente de la sécante lorsque les deux points se rapprochent : quand x₂ → x₁, la sécante pivote jusqu'à ne toucher la courbe qu'en un seul point.

Origine de la formule

La formule découle directement de la définition de la pente appliquée à une fonction. Si l'on trace deux points d'une courbe et qu'on les relie par une droite, la pente de cette droite est (montée) / (avancement) = Δf / Δx. C'est la mesure la plus simple de « la vitesse à laquelle » la fonction varie entre deux abscisses. Elle répond à la question : si l'on ne connaissait que les valeurs de départ et d'arrivée, quel taux constant produirait la même variation nette ?

Lien avec le théorème des accroissements finis

Le théorème des accroissements finis (TAF) garantit que pour toute courbe régulière, le taux de variation moyen sur [x₁, x₂] est atteint comme taux instantané en au moins un point c à l'intérieur de l'intervalle :

$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

La pente de la sécante n'est donc pas une simple approximation : elle est exactement égale à la pente de la tangente en un certain point intérieur. C'est pourquoi, au cours d'un trajet quelconque, la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne à au moins un instant. Ce résultat est fondamental en analyse et constitue un pilier du programme de mathématiques en classes préparatoires.

Applications concrètes

• Physique — vitesse moyenne : Si la position d'un mobile est s(t), alors le taux de variation moyen de s est la vitesse moyenne : v̄ = Δs / Δt. Un objet à 3 m à t = 1 s et à 19 m à t = 5 s a une vitesse moyenne de (19 − 3) / (5 − 1) = 4 m/s.
• Économie — analyse marginale : Le taux de variation moyen du chiffre d'affaires par rapport aux quantités vendues estime la recette supplémentaire par unité — version discrète de la recette marginale.
• Biologie — croissance d'une population : Si une colonie passe de 500 à 1 200 bactéries en 3 heures, le taux de variation moyen est (1 200 − 500) / 3 ≈ 233 bactéries par heure.
• Finance — évolution d'un cours : Si une action cotait 42,50 € et vaut 51,30 € quatre mois plus tard, son taux de variation moyen est (51,30 − 42,50) / 4 = 2,20 €/mois.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle différence entre taux de variation moyen et taux de variation instantané ?

Le taux de variation moyen mesure la variation globale d'une fonction sur un intervalle : c'est la pente de la droite sécante passant par deux points. Le taux de variation instantané, lui, est la pente de la tangente en un seul point — c'est la limite du taux moyen lorsque l'intervalle se réduit à zéro. Cette limite est précisément la dérivée en analyse. Pour une droite, les deux coïncident toujours ; pour une courbe, ils diffèrent en général.

Quel est le lien entre le taux de variation moyen et le théorème des accroissements finis ?

Le théorème des accroissements finis (TAF) affirme que si une fonction est continue sur [x₁, x₂] et dérivable sur (x₁, x₂), alors il existe au moins un point c dans (x₁, x₂) tel que le taux de variation instantané vaut exactement le taux moyen : f′(c) = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁).

La pente de la sécante calculée ici est donc nécessairement atteinte comme pente de tangente en un point intérieur. Le TAF est l'un des résultats fondamentaux du cours d'analyse en classe préparatoire ou en licence de mathématiques.

Comment le taux de variation moyen s'utilise-t-il en physique ?

Dès que la position est une fonction du temps, le taux de variation moyen de la position donne la vitesse moyenne : v̄ = Δx / Δt. Par exemple, si un objet se trouve à 5 m à t = 2 s puis à 21 m à t = 6 s, sa vitesse moyenne est (21 − 5) / (6 − 2) = 4 m/s. Le même raisonnement s'applique à d'autres grandeurs : accélération moyenne = Δv / Δt, intensité moyenne = ΔQ / Δt, taux de croissance démographique = ΔN / Δt.

Le taux de variation moyen peut-il être négatif ?

Oui. Un taux de variation moyen négatif signifie que la fonction a diminué sur l'intervalle — f(x₂) < f(x₁). Par exemple, si la température d'un corps passe de 80 °C à 20 °C en 6 minutes, le taux de variation moyen vaut (20 − 80) / 6 = −10 °C/min. Le signe indique le sens de la variation : positif si la fonction croît, négatif si elle décroît, nul si la valeur nette est inchangée — même si elle a fluctué entre les deux.