Dernière mise à jour : 2026-07-01

L'équation d'un cercle

Un cercle est l'ensemble de tous les points situés à une distance fixe — le rayon $r$ — d'un point fixe — le centre $(h, k)$. Traduire cette définition en coordonnées donne la forme canonique du cercle :

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

En développant les carrés et en regroupant les termes, on obtient la forme générale :

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Les deux équations décrivent le même cercle. La forme canonique met en évidence le centre et le rayon ; la forme générale les masque, mais c'est la forme qui apparaît naturellement lorsqu'une équation est donnée « brute ». Ce calculateur convertit dans les deux sens.

De la forme générale au centre et au rayon

Étant donné $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, le centre et le rayon valent :

$\text{centre} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

Les coordonnées du centre se lisent directement sur les coefficients de $x$ et de $y$. Pour le rayon, la quantité sous la racine — le radicande $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$ — doit être positive pour qu'un véritable cercle existe.

Compléter le carré

La conversion n'est rien d'autre que compléter le carré appliqué aux deux variables simultanément. Partez de la forme générale et regroupez :

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

Pour compléter chaque carré, ajoutez le carré de la moitié du coefficient linéaire des deux côtés — $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$ pour le groupe en $x$ et $\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$ pour le groupe en $y$ :

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

Le membre de gauche est désormais une somme de deux carrés parfaits centrés en $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, et le membre de droite vaut $r^2$. C'est exactement la forme canonique.

Exemple résolu

Problème : Trouver le centre et le rayon de $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Étape 1 — identifier les coefficients : $D = -4$, $E = 6$, $F = 9$.

Étape 2 — trouver le centre :

$\text{centre} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

Étape 3 — trouver le rayon :

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

Le cercle a donc pour centre $(2, -3)$ et pour rayon $2$, et sa forme canonique est $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

Du centre et du rayon à la forme générale

Dans l'autre sens, on développe les carrés de la forme canonique. Avec centre $(h, k)$ et rayon $r$ :

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

Pour l'exemple ci-dessus, $h = 2$, $k = -3$, $r = 2$ donnent $D = -4$, $E = 6$ et $F = 4 + 9 - 4 = 9$, ce qui restitue la forme générale initiale $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Lorsqu'il n'y a pas de cercle réel

Le rayon n'est réel que si le radicande est positif :

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

Trois cas se présentent :

• Radicande positif — un cercle réel de rayon $r = \sqrt{\text{radicande}}$.
• Radicande nul — l'équation se réduit au seul point $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, un « cercle ponctuel » dégénéré de rayon $0$.
• Radicande négatif — aucun point réel ne vérifie l'équation. On parle parfois de cercle imaginaire ; géométriquement, il n'y a rien à tracer.

Par exemple, $x^2 + y^2 + 1 = 0$ a $D = E = 0$ et $F = 1$, donc le radicande vaut $-1$. Aucun couple réel $(x, y)$ ne peut rendre une somme de carrés égale à $-1$ : il n'y a donc pas de cercle.

Pourquoi la forme générale compte

La forme générale $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ est l'équation du second degré dans laquelle les coefficients de $x^2$ et $y^2$ sont égaux et où il n'y a pas de terme $xy$ — la signature algébrique d'un cercle parmi les coniques. La reconnaître permet de savoir d'un coup d'œil si une équation du second degré embrouillée est un cercle (coefficients carrés égaux, pas de terme croisé) avant tout calcul, et compléter le carré met alors au jour son centre et son rayon.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la différence entre la forme canonique et la forme générale d'un cercle ?

La forme canonique (x − h)² + (y − k)² = r² affiche directement le centre (h, k) et le rayon r : on les lit immédiatement.

La forme générale x² + y² + Dx + Ey + F = 0 est la version développée ; elle masque le centre et le rayon, mais se prête au calcul algébrique et à la comparaison avec les autres coniques. Les deux décrivent le même cercle, et l'on passe de l'une à l'autre en complétant le carré (générale → canonique) ou en développant les carrés (canonique → générale).

Comment trouver le centre et le rayon à partir de x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ?

Complétez le carré séparément pour x et pour y. Le centre est (−D/2, −E/2) et le rayon r = √(D²/4 + E²/4 − F). Par exemple, x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 a pour centre (2, −3) et pour rayon √(4 + 9 − 9) = √4 = 2.

Comment compléter le carré transforme-t-il la forme générale en forme canonique ?

Regroupez les termes en x et en y : (x² + Dx) + (y² + Ey) = −F. Ajoutez (D/2)² et (E/2)² des deux côtés pour compléter chaque carré : (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F. Le membre de gauche est maintenant la somme de deux carrés parfaits centrés en (−D/2, −E/2), et le membre de droite vaut r². C'est la forme canonique.

Quand l'équation ne représente-t-elle pas un cercle réel ?

Le carré du rayon vaut r² = D²/4 + E²/4 − F. S'il est négatif, aucun couple réel (x, y) ne vérifie l'équation : il n'y a donc pas de cercle (on parle parfois de cercle imaginaire). S'il est exactement nul, l'équation se réduit au seul point central — un « cercle ponctuel » dégénéré de rayon 0. Un véritable cercle exige D²/4 + E²/4 − F > 0.