Calculatrice de segment circulaire

Dernière mise à jour : 2026-05-20

Qu'est-ce qu'un segment circulaire ?

Un segment circulaire est la région délimitée par une corde et l'arc qu'elle sous-tend. En saisissant un rayon et un angle au centre, la calculatrice calcule les quatre grandeurs caractéristiques — longueur de la corde, flèche, longueur de l'arc et aire du segment.

Secteur et segment

On peut découper un cercle de différentes manières. Les deux formes les plus courantes sont :

• Secteur — la « part de tarte » délimitée par deux rayons et l'arc compris entre eux. C'est une portion rayonnante à partir du centre.
• Segment — la région comprise entre une corde et l'arc qu'elle sous-tend. C'est comme une tranche découpée en ligne droite, sans passer par le centre.

Chaque corde engendre deux segments : le petit segment (la région la plus petite, lorsque l'angle au centre θ < π) et le grand segment (la région la plus grande). Quand θ = π, la corde est un diamètre et les deux segments sont deux demi-disques égaux.

La flèche (sagitta)

La flèche — du latin sagitta, « flèche » — est la distance perpendiculaire entre le milieu de la corde et le milieu de l'arc. Elle représente la hauteur du segment.

Pour un rayon r et un angle au centre θ exprimé en radians :

$h = r\bigl(1 - \cos(\theta/2)\bigr)$

À θ = π (demi-cercle), la flèche est égale au rayon : la corde coïncide avec le diamètre et l'arc atteint le point diamétralement opposé au milieu de la corde. Pour de très petits angles, la flèche tend vers zéro ; à θ = 2π, elle vaut 2r, soit le diamètre entier.

Le nom latin sagitta évoque précisément la forme de l'ensemble : la corde représente l'arc de l'archer, et la flèche est le trait qui part de son milieu vers la cible — c'est-à-dire le sommet de l'arc de cercle.

Formules

Toutes les formules utilisent θ en radians. La calculatrice convertit automatiquement les degrés et les grades.

Grandeur	Formule
Longueur de la corde	$c = 2r\sin(\theta/2)$
Flèche	$h = r(1 - \cos(\theta/2))$
Longueur de l'arc	$l = r\theta$
Aire du segment	$A = \tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

Démonstration de la formule de l'aire

Le segment est la différence entre le secteur et le triangle isocèle formé par les deux rayons et la corde.

• Aire du secteur = ½r²θ
• Aire du triangle = ½r²sin θ (base = corde = 2r sin(θ/2), hauteur = r cos(θ/2), produit = r² sin(θ/2)cos(θ/2) = ½r²sin θ)
• Aire du segment = secteur − triangle = ½r²θ − ½r²sin θ = ½r²(θ − sin θ)

Exemple numérique

Une fenêtre en forme de segment circulaire a un rayon r = 10 m et une corde horizontale qui sous-tend un angle au centre θ = 90°.

Conversion en radians : θ = π/2 ≈ 1,5708 rad.

• Corde = 2 × 10 × sin(45°) = 20 × 0,7071 ≈ 14,14 m
• Flèche = 10 × (1 − cos(45°)) = 10 × 0,2929 ≈ 2,93 m
• Arc = 10 × π/2 ≈ 15,71 m
• Aire du segment = ½ × 100 × (π/2 − 1) ≈ 50 × 0,5708 ≈ 28,54 m²

À titre de comparaison, l'aire du disque complet est π × 100 ≈ 314,16 m². Ce segment à 90° représente environ 9,1 % du disque.