Calculatrice du cercle circonscrit

Dernière mise à jour : 2026-05-20

Définition du cercle circonscrit

Le cercle circonscrit d'un triangle est l'unique cercle qui passe par ses trois sommets. Son rayon $R$ s'appelle le rayon du cercle circonscrit, et son centre est appelé le centre du cercle circonscrit (ou circocentre). Cette calculatrice détermine $R$, l'aire et le périmètre du cercle à partir des seules longueurs des trois côtés $a$, $b$, $c$.

Tout triangle possède exactement un cercle circonscrit — ce qui n'est pas le cas d'un quadrilatère quelconque. Ce cercle occupe une place centrale en géométrie classique, et son rayon intervient régulièrement en trigonométrie et en navigation.

Calcul du rayon du cercle circonscrit

La méthode standard combine la formule de Héron pour l'aire du triangle avec le produit des côtés.

Étape 1 — Demi-périmètre :

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Étape 2 — Aire du triangle (formule de Héron) :

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Étape 3 — Rayon du cercle circonscrit :

$R = \frac{abc}{4S}$

Exemple numérique — le triangle 5-6-7 :

$s = \frac{5+6+7}{2} = 9$

$S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} \approx 14{,}70$

$R = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 14{,}70} = \frac{210}{58{,}79} \approx 3{,}57$

L'aire du cercle circonscrit est $\pi R^2 \approx 40{,}0$ et son périmètre $2\pi R \approx 22{,}4$.

Position du centre du cercle circonscrit

Le centre du cercle circonscrit $O$ est le point équidistant des trois sommets. Géométriquement, il se situe à l'intersection des médiatrices des trois côtés. Sa position par rapport au triangle dépend du type de triangle :

Type de triangle	Position du centre
Acutangle (tous les angles < 90°)	À l'intérieur du triangle
Rectangle (un angle = 90°)	Au milieu de l'hypoténuse
Obtusangle (un angle > 90°)	À l'extérieur du triangle

Le cas rectangle offre une vérification simple : pour le triangle 3-4-5, le centre se trouve au milieu du côté 5, ce qui donne $R = 5/2 = 2{,}5$ — résultat confirmé par la formule $R = abc/(4S) = 60/24 = 2{,}5$.

Lien avec la loi des sinus

Le rayon du cercle circonscrit s'exprime élégamment à partir des angles grâce à la loi des sinus généralisée :

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Cela signifie que $R$ est la moitié du rapport de n'importe quel côté au sinus de l'angle opposé. On retrouve ainsi le résultat du triangle rectangle : lorsque $C = 90°$, $\sin C = 1$, donc $2R = c$, soit $R = c/2$.

Cercle circonscrit et cercle inscrit

Le cercle inscrit se trouve à l'intérieur du triangle et est tangent aux trois côtés. Son rayon $r$ vaut :

$r = \frac{S}{s}$

Les deux rayons vérifient l'inégalité $R \geq 2r$ : le rayon du cercle circonscrit est toujours au moins le double de celui du cercle inscrit. Le rapport minimal $R/r = 2$ n'est atteint que pour le triangle équilatéral. Pour le triangle 3-4-5 : $R = 2{,}5$, $r = 6/6 = 1$, soit $R/r = 2{,}5$ — au-dessus du minimum.

Les deux rayons dépendent de la même aire $S$ et du même demi-périmètre $s$, mais expriment des propriétés géométriques différentes : $R$ mesure l'envergure extérieure du triangle, tandis que $r$ traduit l'espace disponible à l'intérieur.

Inégalité triangulaire

La formule ne produit un résultat réel que si les trois côtés forment bien un triangle. L'inégalité triangulaire exige que :

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Si l'une des conditions n'est pas satisfaite, aucun triangle n'existe. Par exemple, les côtés 1, 2 et 10 échouent car $1 + 2 = 3 < 10$ — la formule de Héron produirait une valeur négative sous la racine carrée, rendant $R$ indéfini.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que le rayon du cercle circonscrit d'un triangle ?

Le rayon du cercle circonscrit R est le rayon du cercle unique qui passe par les trois sommets du triangle. Pour un triangle de côtés a, b, c et d'aire S, la formule est R = abc ÷ (4S). Pour le triangle rectangle 3-4-5 : S = 6, donc R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2,5. Pour tout triangle rectangle, R est exactement égal à la moitié de l'hypoténuse.

Où se trouve le centre du cercle circonscrit ?

Le centre du cercle circonscrit O est le point équidistant des trois sommets. Il se situe à l'intersection des médiatrices des trois côtés. Pour un triangle acutangle, il est à l'intérieur du triangle. Pour un triangle rectangle, il se trouve exactement au milieu de l'hypoténuse. Pour un triangle obtusangle, il se situe à l'extérieur du triangle, du côté du plus grand côté.

Quelle différence entre le cercle circonscrit et le cercle inscrit ?

Le cercle circonscrit passe par les trois sommets et a pour rayon R = abc ÷ (4S). Le cercle inscrit est tangent aux trois côtés de l'intérieur et a pour rayon r = S ÷ s, où s = (a + b + c) ÷ 2 est le demi-périmètre.

Pour le triangle 3-4-5 : R = 2,5 et r = 1. L'inégalité R ≥ 2r est toujours vérifiée : le rayon du cercle circonscrit est au moins le double de celui du cercle inscrit. Le rapport minimal R/r = 2 n'est atteint que pour le triangle équilatéral.

Quel lien entre le rayon du cercle circonscrit et la loi des sinus ?

La loi des sinus généralisée affirme que a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R. Autrement dit, le rayon du cercle circonscrit est la moitié du rapport de n'importe quel côté au sinus de l'angle opposé. Par exemple, avec a = 5 et sin A = 0,6 : R = 5 ÷ (2 × 0,6) = 4,167. Cette relation explique pourquoi les triangles rectangles (angle 90°, sinus = 1) ont R = hypoténuse ÷ 2, et que les trois rapports côté ÷ sinus(angle opposé) sont toujours égaux.