Dernière mise à jour : 2026-07-01

Arithmétique des nombres complexes

Un nombre complexe réunit une partie réelle et une partie imaginaire en une seule quantité, notée a + bi, où i est l’unité imaginaire définie par i² = −1. Le nombre a est la partie réelle et b le coefficient de la partie imaginaire. Ce calculateur prend deux nombres complexes, z₁ = a + bi et z₂ = c + di, applique l’opération choisie — addition, soustraction, multiplication ou division — et donne le résultat accompagné de son module et de son argument.

Les nombres complexes prolongent la droite réelle en un plan à deux dimensions, ce qui les rend indispensables en génie électrique, en traitement du signal, en théorie du contrôle et en mécanique quantique.

Les quatre opérations

L’addition et la soustraction se font composante par composante, exactement comme l’addition de vecteurs :

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

La multiplication se développe comme deux binômes ; avec i² = −1, le terme en i² revient dans la partie réelle :

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

La division multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, c − di. Cela élimine la partie imaginaire du dénominateur et laisse la valeur réelle c² + d² :

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

La division est définie pour tout z₂ sauf 0 + 0i, où c² + d² = 0.

Exemple résolu

Problème : Multiplier z₁ = 3 + 4i par z₂ = 1 + 2i.

En appliquant la règle de multiplication avec a = 3, b = 4, c = 1, d = 2 :

• Partie réelle : ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• Partie imaginaire : ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

Donc z₁ z₂ = −5 + 10i.

Le module du résultat est √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11,18, et son argument est atan2(10, −5) ≈ 116,57°, situé dans le deuxième quadrant puisque la partie réelle est négative et la partie imaginaire positive.

Module et argument

Tout nombre complexe correspond à un point du plan, la partie réelle sur l’axe horizontal et la partie imaginaire sur l’axe vertical. Deux grandeurs polaires décrivent ce point :

• Le module r = √(x² + y²) est la distance à l’origine. Il mesure la taille du nombre.
• L’argument φ est l’angle mesuré à partir de l’axe des réels positifs. L’arc tangente à deux arguments, φ = atan2(y, x), place l’angle dans le bon quadrant et renvoie une valeur entre −180° et 180° (ou entre −π et π en radians).

Forme algébrique et forme polaire

La forme algébrique, x + yi, donne directement les coordonnées horizontale et verticale. La forme polaire, r(cos φ + i sin φ), utilise au contraire la distance et l’angle. Les deux formes décrivent le même nombre ; le choix est une question de commodité.

L’addition et la soustraction sont les plus simples sous forme algébrique, car les parties se combinent indépendamment. La multiplication, la division et les puissances sont les plus simples sous forme polaire : les modules se multiplient ou se divisent tandis que les arguments s’ajoutent ou se soustraient. Le théorème de De Moivre s’appuie directement là-dessus et transforme la tâche fastidieuse d’élever un nombre complexe à une puissance en une seule multiplication de l’argument.