Calculateur de probabilité conditionnelle et théorème de Bayes

Dernière mise à jour : 2026-05-20

La probabilité conditionnelle en bref

La probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement A se produise sachant qu'un événement B est déjà réalisé. Elle se note P(A|B) et restreint l'espace des possibles aux seuls cas où B est vrai, puis mesure la fraction de ces cas qui implique aussi A.

Ce calculateur prend trois entrées — la probabilité a priori P(A), la vraisemblance P(B|A) et le taux de faux positifs P(B|¬A) — et calcule la probabilité a posteriori P(A|B) par le théorème de Bayes, ainsi que la probabilité conjointe P(A∩B) et la probabilité totale P(B).

Le théorème de Bayes, étape par étape

Le théorème de Bayes relie la probabilité a posteriori à la probabilité a priori en s'appuyant sur deux sources d'information.

Étape 1 — Probabilité conjointe

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

C'est la probabilité que A soit vrai et que l'indice B soit observé en même temps.

Étape 2 — Probabilité totale de B

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + (1 - P(A)) \cdot P(B|\lnot A)$

B peut se produire de deux manières : quand A est vrai (pondéré par la probabilité a priori) et quand A est faux (pondéré par le taux de faux positifs). Additionner les deux chemins donne la probabilité globale d'observer B.

Étape 3 — Probabilité a posteriori par le théorème de Bayes

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + (1-P(A)) \cdot P(B|\lnot A)}$

La probabilité a posteriori représente la fraction des « occurrences de B » qui impliquent également A.

Pourquoi la formule fonctionne

L'intuition est simple : parmi toutes les fois où B se produit, certains cas sont de vrais positifs (A était vrai et a produit B) et d'autres sont de faux positifs (A était faux, mais B est apparu quand même). Le théorème de Bayes comptabilise ces deux groupes avec précision. Si le réservoir de faux positifs est important — soit parce que P(B|¬A) est élevé, soit parce que ¬A est fréquent — il dilue les vrais positifs et la probabilité a posteriori chute.

Exemple détaillé : le paradoxe du diagnostic médical

Une maladie touche 1 % de la population. Un test diagnostique présente une sensibilité de 99 % (P(B|A) = 0,99) et un taux de faux positifs de 5 % (P(B|¬A) = 0,05). Le test d'un patient revient positif. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement atteint de la maladie ?

Étape 1 : P(A∩B) = 0,01 × 0,99 = 0,0099

Étape 2 : P(B) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594

Étape 3 : P(A|B) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 16,7 %

Malgré une sensibilité de 99 %, un résultat positif ne correspond qu'à environ une chance sur six d'être réellement malade. Les 99 % de personnes saines génèrent bien plus de faux positifs (≈ 5 %) que les 1 % de malades ne génèrent de vrais positifs (≈ 1 %), noyant complètement le signal. Ce résultat contre-intuitif explique pourquoi les tests de confirmation sont systématiques en médecine.

Le sophisme du taux de base

Le sophisme du taux de base est l'erreur qui consiste à ignorer la probabilité a priori lors de l'interprétation d'un résultat. Dans l'exemple ci-dessus, se concentrer uniquement sur la précision à 99 % du test et conclure que le patient est presque certainement malade revient à occulter une information essentielle : la maladie est rare. Plus un événement est rare, plus le taux de faux positifs doit être bas pour qu'un résultat positif soit fiable. La formule traduit exactement ce compromis : une diminution de P(A) entraîne une chute de la probabilité a posteriori, même lorsque le test est très précis.

Indépendance et absence d'information

Si P(B|A) est égal à P(B|¬A), l'indice B est statistiquement indépendant de A — l'observer n'apporte aucune information sur la réalisation de A. Dans ce cas, la probabilité totale P(B) vaut la valeur commune des deux vraisemblances, et le théorème de Bayes se simplifie en P(A|B) = P(A). Lorsque P(B|A) = P(B|¬A), la probabilité a posteriori est toujours égale à la probabilité a priori, quelle que soit la valeur de P(A).