Dernière mise à jour : 2026-05-20

Le tronc de cône

Un tronc de cône est le solide que l'on obtient en sectionnant un cône droit par un plan parallèle à sa base. Il comporte deux faces circulaires — une grande base de rayon R et une petite base de rayon r — réunies par une surface latérale courbe, et une hauteur h mesurée perpendiculairement entre les deux plans.

Cette forme est omniprésente : seaux, entonnoirs, gobelets en carton, abat-jour ou viroles de chaudières industrielles.

Formules

Les quatre grandeurs caractéristiques se déduisent directement de R, r et h.

Génératrice — distance mesurée le long de la surface latérale entre les bords des deux bases :

$l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$

Il s'agit d'une simple application du théorème de Pythagore au triangle rectangle dont les cathètes sont la différence des rayons (R − r) et la hauteur h.

Volume — obtenu en soustrayant le petit cône retiré au grand cône initial :

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$

Aire latérale — la surface courbe uniquement, qui se déplie en un secteur annulaire :

$A_{\text{lat}} = \pi(R + r)\,l$

Surface totale — en ajoutant les deux disques circulaires :

$A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R + r)l + \pi(R^2 + r^2)$

Tronc de cône, cône entier et cylindre

Un tronc de cône avec r = 0 n'est autre qu'un cône entier : les formules se ramènent alors à V = πR²h/3 et A_lat = πRl.

À l'inverse, lorsque r = R, la génératrice se confond avec la hauteur (l = h), le volume devient πR²h et l'aire latérale vaut 2πRh — c'est le cylindre. Ces deux cas limites servent de vérification : les valeurs obtenues avec ce calculateur doivent concorder avec celles des calculateurs de cône et de cylindre correspondants.

Exemple de calcul

Un seau en zinc mesure 24 cm de diamètre en haut, 30 cm en bas et 26 cm de hauteur. Calculons son volume utile et la surface de tôle nécessaire.

• R = 15 cm, r = 12 cm, h = 26 cm
• $l = \sqrt{(15 - 12)^2 + 26^2} = \sqrt{9 + 676} = \sqrt{685} \approx 26{,}17$ cm
• V = (π × 26/3) × (225 + 180 + 144) = (π × 26/3) × 549 ≈ 14 948 cm³ ≈ 14,9 litres
• A_lat = π × (15 + 12) × 26,17 = π × 27 × 26,17 ≈ 2 219 cm²
• A_tot = 2 219 + π × 225 + π × 144 ≈ 2 219 + 707 + 452 ≈ 3 378 cm²

Ce seau contient environ 14,9 litres et sa fabrication nécessite un peu plus de 3 300 cm² de tôle (soit environ 0,33 m²), sans compter les surplus de soudure.

Applications courantes

• Seaux et récipients — leur forme tronconique facilite l'empilement ; le volume détermine la capacité utile.
• Entonnoirs industriels — les tremies (goulottes en tronc de cône inversé) dirigent les matières en vrac ; leur volume gouverne le débit de remplissage.
• Abat-jour — l'aire latérale indique la surface de tissu à découper pour réaliser l'abat-jour sans gaspillage.
• Génie civil et architecture — les toitures coniques, les piles de pont évasées et certains chapiteaux reprennent cette géométrie pour le calcul des coffrages et des revêtements.
• Aéronautique et balistique — les jonctions entre sections cylindriques de fuselage ou de fuseaux sont modélisées comme des troncs de cône pour estimer la traînée aérodynamique.

Origine du facteur (R² + Rr + r²)

Ce facteur provient de l'identité algébrique impliquée dans la soustraction du petit cône au grand. Si H désigne la hauteur totale du grand cône et h celle du tronc, le volume s'écrit :

$V_{\text{tronc}} = \frac{\pi H}{3} R^2 - \frac{\pi (H - h)}{3} r^2$

En éliminant H grâce à la relation issue des triangles semblables (H/R = (H − h)/r) et en simplifiant, on obtient la forme compacte (πh/3)(R² + Rr + r²). Les trois termes R², Rr et r² s'interprètent respectivement comme l'aire de la grande base, la moyenne géométrique des deux bases et l'aire de la petite base, chacune pondérée par h/3.